1.置信度 设X为样本，[©1(X),2(X)】是9的一个区间估计.由于9是未知的，且样本是随机的，我们 不能保证在任何情况下（即对任何具体的样本值），区间[©1,2]必定包含9，而只能以一定的概率 保证它.希望随机区间1,2]包含0的概率P(01≤9≤02)越大越好.这个概率就是我们前面 所说的可靠性，数理统计学上称这个概率为置信度.一般说来，这个概率与0有关，假如一个区间 估计对某个81∈日其置信度大，而对另一个2∈日其置信度小，那么这种区间估计的适应性要 差一些，不能认为是一个好的区间估计.若对参数空间日中的任一9，其置信度都很大，则此种区 间估计就是一种好的区间估计.因此有如下定义 定义2设随机区间©1,2]为参数0的一个区间估计，则称置信度在参数空间日上的下确 界 inf Po(a1≤e≤2) 0∈e 为该区间估计的置信系数(Confidence coef伍cient) 显然，一个区间估计的置信度越大越好.为了计算置信度和置信系数，需要利用统计量的精 确分布或渐近分布.可见抽样分布在评价和构造区间估计中发挥重要作用. 2.精确度 精确度的概念我们在前面已说过.精确度的标准不止一个.这里介绍其中最常见的一个标 准，即随机区间©1,2]的平均长度E(2-9).平均长度越短，精确度越高，这也是符合实际的 一项要求.为说明精确度和置信度及其关系，请看下例， 例1设样本X=(X1,·,Xn)来自正态总体N(4,σ2)，其中-0<4<o,o2>0.4 和σ2的估计量分别是样本均值了和样本方差S2=点∑1（化：-X)2,我们用[区-kS引V元，X+ kS/√可作为总体均值μ的区间估计.考虑其置信度和精确度. 解上述区间估计的置信度为 P.(r-kS/V元≤4≤X+kS/Vm=P.(目V(R-)/Sl≤k) =P(IT≤k): 其中T=√元（了-）/S~tn-1,其分布与4无关，因而区间估计的置信系数为P(T|≤k).显然k 越大，区间的置信系数越大，区间就越可靠 由于(n-1)S2/o2~X品-1，所以区间的平均长度为 lk=2kE(s)/V元= 2v2ko I(n/2) Vn(n-1)(n-1)/2) 显然，k越大，区间也越长，也就越不精确」 由此例可以看到，在样本容量给定后，为了提高置信度，需要增加k值，从而放大了区间， 降低了精确度.反过来，为了提高精确度，需要减小k值，从而缩短了区间，降低了置信度.置信 度与精确度互相制约着.如前所述，面对这一矛盾，著名统计学家Neyman建议采取如下方案：在 保证置信系数达到指定要求的前提下，尽可能提高精确度.这一建议导致引入如下置信区间的概 念，由于是Neyman建议的，通常也称置信区间为Neyman置信区间， 21. ò&› X è, [ˆθ1(X), ˆθ2(X)] ¥θ òá´mO. duθ ¥ô, Ö¥ëÅ, ·Ç ÿUy3?¤ú¹e(=È?¤‰Nä), ´m[ ˆθ1, ˆθ2] 7½ù¹θ , êU±ò½V« yß. F"ëÅ´m[ ˆθ1, ˆθ2] ù¹θ V«Pθ( ˆθ1 ≤ θ ≤ ˆθ2) å–. ˘áV«“¥·Çc° §`åÇ5, Ín⁄OÆ˛°˘áV«èò&›. òÑ`5, ˘áV«Üθ k', bXòá´m OÈ,áθ1 ∈ Θ Ÿò&›å, È,òáθ2 ∈ Θ Ÿò&›, @o˘´´mO·A5á ò , ÿU@è¥òá–´mO. eÈÎÍòmΘ •?òθ, Ÿò&›—Èå, Kd´´ mO“¥ò´–´mO. œdkXe½¬. ½¬2 ëÅ´m[ ˆθ1, ˆθ2] èÎÍθ òá´mO, K°ò&›3ÎÍòmΘ ˛e( . inf θ∈Θ Pθ  ˆθ1 ≤ θ ≤ ˆθ2  èT´mOò&XÍ(Confidence coefficient) w,, òá´mOò&›å–. è Oéò&›⁄ò&XÍ, Iá|^⁄O˛° (©Ÿ½ÏC©Ÿ. åу©Ÿ3µd⁄E´mO•uû­áä^. 2. °(› °(›Vg·Ç3c°Æ`L. °(›IOÿéòá. ˘p0Ÿ•Å~ÑòáI O, =ëÅ´m[ ˆθ1, ˆθ2] ²˛›Eθ( ˆθ2 − ˆθ1). ²˛›·, °(›p, ˘è¥Œ‹¢S òëá¶. è`²°(›⁄ò&›9Ÿ'X, ûwe~. ~1 X = (X1, · · · , Xn) 5goNN(µ, σ2 ), Ÿ•−∞ < µ < ∞, σ2 > 0. µ ⁄σ 2 O˛©O¥˛äX¯ ⁄êS 2 = 1 n−1 Pn i=1(Xi−X¯) 2 , ·Ç^[X¯−kS/√ n, X¯+ kS/√ n] äèoN˛äµ ´mO. ƒŸò&›⁄°(›. ) ˛„´mOò&›è Pµ ￾ X¯ − kS/√ n ≤ µ ≤ X¯ + kS/√ n
= Pµ ￾  √ n(X¯ − µ)/S   ≤ k
= P(|T| ≤ k), Ÿ•T = √ n(X¯ − µ)/S ∼ tn−1, Ÿ©ŸÜµ Ã', œ ´mOò&XÍèP(|T| ≤ k). w,k å, ´mò&XÍå, ´m“åÇ. du(n − 1)S 2/σ2 ∼ χ 2 n−1 , §±´m²˛›è lk = 2kE(s)/ √ n = 2 √ 2kσ Γ(n/2) p n(n − 1) Γ((n − 1)/2) . w,,k å,´mè,è“ÿ°(. dd~å±w, 3N˛n â½￾, è Jpò&›, IáO\k ä, l òå ´m, ¸$ °(›. áL5, è Jp°(›, Iá~k ä, l †· ´m, ¸$ ò&›. ò& ›Ü°(›pÉõX. Xc§„, °È˘ògÒ, Õ¶⁄OÆ[Neyman ÔÆÊXeêY: 3 yò&XÍàç½á¶cJe, ¶åUJp°(›. ˘òÔÆó⁄\Xeò&´mV g,du¥Neyman ÔÆ, œ~è°ò&´mèNeyman ò&´m. 2