L(0=em21 ∑(x-m2 n)6 n lnL(6)=- 22∑(x- 似然方程为 aInl(0) 2lma=∑(x-)=0 aIn L(0) n to (x 2G22 解似然方程得 =1Sx=x,÷2=1∑ 所求的最大似然估计量为=X,2=S2 例6,1设总体X服从区间00]上的均匀分布试求参数矩估计量和最大似然估计量 解设(X1,X2…Xn)是总体X的样本其观测值为(x1x2x,xn), 由于E(X) 即6的矩估计量为 6=2>x,=2X 又总体X的分布密度为p(x,0)={O 0≤x≤b 0其他 则似然函数为10)=x;)=70x,,…x≤O 其他 ={ 9m Isxx S6<+mx≥0 其他 由上式可见当O=maxx时L(L(0)达到最大,故的最大似然估计量为 0= max x; =Xml∏= − − = n i x L e 1 2 ( ) 2 2 2 1 ( ) σ µ πσ θ = ∑= − − n i i x n e 1 2 2 2 1 ( ) 2 (2 ) 1 µ σ π σ ∑= = − − − − n i i x n n L 1 2 2 2 ( ) 2 1 ln 2 ln(2 ) 2 ln ( ) µ σ θ π σ 似然方程为 ( ˆ) 0 ˆ 1 | ∂ ln ( ) 1 2 ˆ ˆ 2 = − = ∂ ∑= = = n i i x L µ µ θ σ σ µ µ 2 σ , 1 ˆ 1 x x n n i = ∑ i = = µ 2 1 ( ˆ) 0 2 ˆ 1 2 ˆ | ln ( ) 1 2 2 4 ˆ 2 ˆ ∂ 2 2 = = σ σ σ i µ µ 2 2 , ˆ = − + − = ∂ ∑= n i x L n µ σ σ θ 解似然方程得 X 服从区间[0,θ ]上的均匀分布,试求参数θ 2 2 ( ) 1 n = ∑ x − x 1 2 n X 的样本,其观测值为 由于 ( , ,..., ) 1 2 n x x x , ˆ n i i S n = = σ 所求的最大似然估计量为 µˆ = X 2 2 ˆ 1 1 θ ∑ = = n i Xi n σ = Sn 例 6.11 设总体 矩估计量和最大似然估计量. 解 设(X , X ,"X ) 是总体 θ 的矩估计量为 X X n n i i 2 2 ˆ 1 = ∑ = = θ E(X ) X 的分布密度为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = 0 其他 0 1 ( ; ) θ θ θ x p x θ = 即 又总体 则似然函数为 ⎪ 1 ⎩0 其他 i i n x ≤ ≤ = 1 θ max 时 L( L(θ ))达到最大,故θ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = ∏ = = 0 , , , 1 ( ) ( ; ) 1 2 θ θ θ θ n n i i x x x L p x " ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < + ≥ = ≤ ≤ ≤ ≤ 0 其他 max ,min 0 1 1 1 i i n i i n n x θ θ x θ 由上式可见,当 的最大似然估计量为 ( ) 1 max i n i n = x = X ≤ ≤ θ 8