第二学期第二十四次课 10.2.2定理21域上的对称多项式能唯一地表为初等对称多项式的多项式 引理1将ao1σ2…σm(a∈K)展开成x,x2,…,xn的多项式后,其按字典排列法的 首项是 4++y2+ 该命题易证。 引理2给定K[x1,…,x的两个不同的单项式xx2…x,xx2…x,则对任意 G∈Sn,O(xx2…x)≠可(x1x2…xh) 证设 k1k2…k 若叫(x鸡…x)=鸡鸡…鸡=可(x鸡2…x)=鸡鸡…x按内两个多项式相等的要 求可知应有=j12=j2…=j,与假设矛盾。该引理告诉我们,对任意 f(x1,x2…,xn)∈K[x2…,xn],因为a∫为对∫的每个单项式用σ作变换、,此时∫中的不 同单项式变为G∫种不同单项式,互相之间不会抵消。 引理3 给定正整数t,定以集合 N()={(1212…,n)∈Z,0≤in≤in1≤…≤l≤l} 则N()是一个有限集合。事实上,容易说明N(t)最多含(t+1)”个元素。 引理4 设∫(x,x2…,xn)是一个对称多项式,它按字典排列法的首项是 axx2…x,则有1≥2≥…≥Ln 证如若不然,设≥12≥…≥1-1,但>-1令 -(2mx 1 k k k-1 即a为互换Ω内k-1与k两个元素,其他保持不变的变换。G(f)是将∫中个单项式中xk-1 与xk互换位置所得出的多项式。∫的首项经这样的变换后变为 ax1…xx1…x=ax1…x1xk-…x,因∫是对称多项式,a()=f,故第二学期第二十四次课 10．2．2 定理 2.1 域上的对称多项式能唯一地表为初等对称多项式的多项式 引理 1 将 1 2 1 2 ( ) n i i i n a a K     展开成 1 2 , ,..., n x x x 的多项式后，其按字典排列法的 首项是 1 2 2 3 1 2 . n n n i i i i i i i n ax x x + + + + 该命题易证。 引理 2 给定 1 [ ,..., ] K x xn 的两个不同的单项式 2 1 2 1 2 1 2 , n n n i i j i j j n n x x x x x x ，则对任意 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( ) ( ). n n i i j j i j n n n      S x x x x x x 证 设 1 2 1 2 . n n k k k    =     若 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . n n n n n n i i i i j j j j i i j j n k k k n k k k   x x x x x x x x x x x x = = = 按内两个多项式相等的要 求可知应有 1 1 2 2 , ,..., , n n i j i j i j = = = 与 假 设 矛 盾 。 该 引 理 告 诉 我 们 ， 对 任 意 1 2 1 ( , ,..., ) [ ,..., ] n n f x x x K x x  ，因为  f 为对 f 的每个单项式用  作变换、，此时 f 中的不 同单项式变为  f 种不同单项式，互相之间不会抵消。 引理 3 给定正整数 t ，定以集合 1 2 1 1 N t i i i i i i i t ( ) {( , ,..., ) | ,0 }, =       n k n n Z − 则 N t( ) 是一个有限集合。事实上，容易说明 N t( ) 最多含 ( 1)n t + 个元素。 引理 4 设 1 2 ( , ,..., ) n f x x x 是一个对称多项式，它按字典排列法的首项是 1 2 1 2 n i i i n ax x x ，则有 1 2 . n i i i    证 如若不然，设 1 2 1, k i i i    − 但 1 . k k i i  − 令 1 2 1 , 1 2 1 k k n k k n    − =     − 即  为互换  内 k −1 与 k 两个元素，其他保持不变的变换。  ( ) f 是将 f 中个单项式中 k 1 x − 与 k x 互 换 位 置 所 得 出 的 多 项 式 。 f 的 首 项 经 这 样 的 变 换 后 变 为 1 1 1 1 1 1 1 1 . k k n k k n i i i i i i i i k k n k k n ax x x x ax x x x − − − − = 因 f 是 对 称 多 项 式 ，  ( ) f f = ， 故