CHAPTER 3 LEAST SQUARES METHODS FOR ESTIMATING 1 Thr a2=(e 2(xMlxe2)e2(xM)Is 1,ShX. bk Xh b,,龙 a1=(ei( Mlx)e1)ei(xMI x,)I SrppkXshb S e ThX (d(x)d)d(xMl1L Br s (xM1)d=dM1(11)1d b, d 11 f11 eee fuka i'd 1 eee 2=121 eee 7 1K2)s (x MI1)d d m fp 1 eee IK? f1 Mf1 f1r MfK f21 Mf1 eee fnl MfI eee fnk, MfK I, shX.bk Xwby L ME (x MIIL Ln MlCHAPTER 3 LEAST SQUARES METHODS FOR ESTIMATING β 3 Thus b2 = (X ′ 2 (I − PX1 ) X2) −1 X ′ 2 (I − PX1 ) y. In the same manner, b1 = (X ′ 1 (I − PX2 ) X1) −1 X ′ 1 (I − PX2 ) y. Suppose that X1 =   1 . . . 1   and X2 = Z(n×K2) . Then b2 = (Z ′ (I − P1) Z) −1 Z ′ (I − P1) y. But (I − P1)Z = Z − 1 (1 ′1) 1 ′Z and 1 ′1 =n 1 ′Z = 1 · · · 1    z11 · · · z1K2 . . . zn1 · · · znK2   = n i=1 zi1 · · · n i=1 ziK2  . Thus, (I − P1)Z = Z −   1 . . . 1   z¯1 · · · z¯K2  =   z11 − z¯1 · · · z1K2 − z¯K2 z21 − z¯1 · · · z2K2 − z¯K2 . . . zn1 − z¯1 · · · znK2 − z¯K2   In the same way, (I − P1) y =   y1 − y¯ . . . yn − y¯  