·1554· 工程科学学报，第39卷，第10期 r=√a(a), 在控制半径最大化与控制松弛变量之间做出权衡.常 C点 数A的选择与第一类错误和第二类错误有关[]，通常 (5) A可以取0.1或0.05. 其中，α是由式(4)求得的最优解 同样，引入拉格朗日乘子a≥0，B≥0，对应的拉 对待测的检测点x,可以由下式来判断该检测点 格朗日函数为 是否正常 )=H[k(x,)-2axx,)+D] (Ca,)=+45-2B+ 含[I-C-- (8) (6) 分别对式(8)求C,「，：的偏导，且令导数值为0， 其中，H(x)表示Heaviside函数.当k(x,r)- 求得下面的优化解 2三心)+]小>0，)=1，则该检测点被 ⊙(C,.a2=2a,(x,-C)=0, ac 判为异常点 pCga且=2-三u)=0,o) 1.2线性软超球体 上面所讨论的最小封闭超球体实质上是一种硬球 8L(C,&,2=A-a,-B=0. 0: 体，球体的最小半径为离球心最远的样本点的距离. 这意味着，如果样本中有少数样本点偏离了其他样本， 从面得到三=C, 0=1A=4-a30,a≤ 球体的最小半径将会扩大.这时异常点的检测存在一 A把这些约束条件代入式(8)，有 定的风险，即：扩大球体的最小半径会将异常点判为正 常点，如图2所示.在实际工业生产中，由于异常点 以c,a-+4gi+会a[l-cI- 与正常点的部分边界有可能是交叉重叠的，因此需 要考虑允许有少数正常的样本点被划在边界外.通 户--豆陆=三ax-C-c= 常，将包含绝大部分样本点的封闭超球体称为封闭 ,(10) 软超球体9-o],它是在硬球体的基础上对边界作了松 含a()-名aa 弛处理. 同样，令a(a)=豆a)-名三a4( Feature 2 x),式(7)转化为求下面优化解 △表示异常点 X表示可控点 maxo(a), X XX XX ∑a=l,0≤a,≤A=l/m,y=1/hn XX Feature 1 lξ川，= 5,i=12,…,m (11) 由式(11)可以求得最小超球体的半径r和球心C 图2扩大球体的最小半径会将异常点判为正常点 Fig.2 Outliers are regarded as normal samples when the minimum r= radius of the hyper-sphere increases 7 K(xix)- 之x(xx)+】 aiak(x), 封闭软超球体的求解过程与式(2)相似，引入松 台 弛变量 cgo (12) 专=忘(C,r,x)=(Ix-C2-r2), 其中a是由式(11)求得的最优解 封闭软超球体的优化解为 对待检测的样本点x,可以由下式来判断该检测 minr+A‖ξl (7) 点是否正常 约束条件为： Ix,-C‖2=(x:-C)(x,-C)≤2+专， )=(-2宫g+D小 5≥0，i=1,2,…,n. D= 中，=∑，式(7)中的4为一常数，其值 ()） 其中，y为惩罚因子.当f(x)=1,则该检测点被判为工程科学学报,第 39 卷,第 10 期 r = 棕(琢 * ), C = 移 n i = 1 琢 * i xi . (5) 其中,琢 * i 是由式(4)求得的最优解. 对待测的检测点 x,可以由下式来判断该检测点 是否正常 f(x) = H [ 资(x,x) - 2 移 n i = 1 琢 * i 资(x,xi) + D ] , D = 移 n i = 1 移 n j = 1 琢 * i 琢 * j 资(xi,xj) - r 2 . (6) 其中, H ( x ) 表 示 Heaviside 函 数. 当 [ 资 ( x, x ) - 2 移 n i = 1 琢 * i 资(x,xi) + D ] > 0 , f( x) = 1,则该检测点被 判为异常点. 1郾 2 线性软超球体 上面所讨论的最小封闭超球体实质上是一种硬球 体,球体的最小半径为离球心最远的样本点的距离. 这意味着,如果样本中有少数样本点偏离了其他样本, 球体的最小半径将会扩大. 这时异常点的检测存在一 定的风险,即:扩大球体的最小半径会将异常点判为正 常点,如图 2 所示. 在实际工业生产中,由于异常点 与正常点的部分边界有可能是交叉重叠的,因此需 要考虑允许有少数正常的样本点被划在边界外. 通 常,将包含绝大部分样本点的封闭超球体称为封闭 软超球体[9鄄鄄10] ,它是在硬球体的基础上对边界作了松 弛处理. 图 2 扩大球体的最小半径会将异常点判为正常点 Fig. 2 Outliers are regarded as normal samples when the minimum radius of the hyper鄄sphere increases 封闭软超球体的求解过程与式(2) 相似,引入松 弛变量 孜i = 孜i(C,r,xi) = (椰xi - C椰2 - r 2 ) + . 封闭软超球体的优化解为 min C,r,孜 r 2 + A 椰孜椰1 . (7) 约束条件为: 椰xi - C椰2 = (xi - C) T (xi - C)臆r 2 + 孜i, 孜i逸0, i = 1,2,…,n. 其中椰孜椰1 = 移 n i = 1 孜i,式(7) 中的 A 为一常数,其值需 在控制半径最大化与控制松弛变量之间做出权衡. 常 数 A 的选择与第一类错误和第二类错误有关[5] ,通常 A 可以取 0郾 1 或 0郾 05. 同样,引入拉格朗日乘子 琢i逸0, 茁i逸0,对应的拉 格朗日函数为 L(C,r,琢,孜) = r 2 + A 移 n i = 1 孜i - 移 n i = 1 茁i 孜i + 移 n i = 1 琢i[椰xi - C椰2 - r 2 - 孜i]. (8) 分别对式(8)求 C,r,孜i 的偏导,且令导数值为 0, 求得下面的优化解 鄣 L(C,r,琢,孜) 鄣 C = 2移 n i = 1 琢i(xi - C) = 0, 鄣 L(C,r,琢,孜) 鄣 r = 2r ( 1 - 移 n i = 1 琢i ) = 0, 鄣 L(C,r,琢,孜) 鄣 孜i = A - 琢i - 茁i = 0 ì î í ï ï ï ï ï ï . (9) 从而得到 移 n i = 1 琢ixi = C, 移 n i = 1 琢i = 1,茁i = A - 琢i逸0,琢i臆 A 把这些约束条件代入式(8),有 L(C,r,琢,孜) = r 2 + A 移 n i = 1 孜i + 移 n i = 1 琢i[椰xi - C椰2 - r 2 - 孜i] - 移 n i = 1 茁i 孜i = 移 n i = 1 琢i掖xi - C,xi - C业 = 移 n i = 1 琢i资(xi,xi) - 移 n i,j = 1 琢i琢j资(xi,xj). (10) 同样,令 棕( 琢) = 移 n i = 1 琢i资( xi,xi ) - 移 n i = 1 移 n j = 1 琢i琢j资( xi, xj),式(7)转化为求下面优化解 max 琢 棕(琢), 移 n i = 1 琢i = 1, 0 臆 琢i 臆 A = 1 / 酌n,酌 = 1 / An, 椰孜椰1 = 移 n i = 1 孜i, i = 1,2,…,n. (11) 由式(11)可以求得最小超球体的半径 r 和球心 C r = 资(xi,xi) - 移 n i =1 琢 * i 资(xi,xj) + 移 n i =1 移 n j =1 琢 * i 琢 * j 资(xi,xj) , C = 移 n i = 1 琢 * i xi . (12) 其中 琢 * i 是由式(11)求得的最优解. 对待检测的样本点 x,可以由下式来判断该检测 点是否正常 f(x) = H [ 资(x,x) - 2 移 n i = 1 琢 * i 资(x,xi) + D ] , D = 移 n i = 1 移 n j = 1 琢 * i 琢 * j 资(xi,xj) - r 2 - 酌. (13) 其中,酌 为惩罚因子. 当 f( x) = 1,则该检测点被判为 ·1554·