大学酸学实 大学数学实验 为什么要学习微分方程数值解 微分方程是研究函数变化规律的重要工具,有着广泛 的应用。如: Experiments in Mathematics 物体的,电路的电压人口增长的顶 ·许多微分方程没有解析解,数值解法是求解的重要手 实验4常微分方程数值解 段,如 dy --axx 清半大总教科導系 y(n)=axy-by 实验4的基本内容 实例1海上缉私 海防某部缉私艇上的达发现正东方向c海里处有一艘走 1.两个最常用的数值算法: 正以速度a向正北方向行驶,盘私艇立即以最大遠度b>a) 欧拉(Euer)方法 拦截。如果用雷达进行跟踪时,可保持私艇的速度方向始终 龙格库塔( Runge-Kutt)方法 向走私部 2.龙格库塔方法的 MATLAB实现 建立任意时刻缉私艇位量及 航线的数学模型并求解; 3.实际问题用微分方程建模,并求解 求出缉私艇追上走私船的时间 4数值算法的收敛性、稳定性与刚性方程 (学静学实鉴 学学实纷 实例1海上缉私 “常微分方程初值问题数值解”的提法 立系如圆:P0艇在(0,0),船在(c,0);船速a,艇速b 时刻t艇位于Px,y),船到达Qc,a 设y=f(x,y)2y(x)=y的解y=y(x)存在且唯一 不求解析解y=y(x)(无解析解或求解困难) -= bcos -=bsin a 而在一系列高散点<x<…<x dt )的近似值ya(n=1,2 dx c-x)2+(at-y) 通常取等步长h y=y(x) y(x, 由方程无法得到x(,y(的解析解 需要用数值解法求解 No 1331 大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验4 常微分方程数值解 清华大学数学科学系 为什么要学习微分方程数值解 • 微分方程是研究函数变化规律的重要工具，有着广泛 的应用。如: 物体的运动, 电路的电压, 人口增长的预测 • 许多微分方程没有解析解，数值解法是求解的重要手 段，如 2 , dy y x dx = + ( ) ( ) x t axy y t axy by = − = − & & 实验4的基本内容 3. 实际问题用微分方程建模，并求解 2. 龙格-库塔方法的MATLAB实现 *4. 数值算法的收敛性、稳定性与刚性方程 1. 两个最常用的数值算法: • 欧拉（Euler）方法 • 龙格-库塔（Runge-Kutta）方法 实例1 海上缉私 海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船 正以速度a向正北方向行驶，缉私艇立即以最大速度b(>a)前往 拦截。如果用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终 指向走私船。 • 建立任意时刻缉私艇位置及 航线的数学模型,并求解; • 求出缉私艇追上走私船的时间。 a 北 b 艇 船 c 实例1 海上缉私 建立坐标系如图: t=0 艇在(0, 0), 船在(c, 0); 船速a, 艇速b 时刻 t 艇位于P(x, y), 船到达 Q(c, at) 模型: 0 y x c R(c,y ) α Q(c,at) P(x,y) b cos , sin dx dy b b dt dt = = α α 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) dx b c x dt c x at y dy b at y dt c x at y ⎧ − = ⎪ ⎪ −+− ⎨ − ⎪ = ⎪ − +− ⎩ 由方程无法得到x(t), y(t)的解析解 需要用数值解法求解 “常微分方程初值问题数值解”的提法 0 0 设 的解y=y(x)存在且唯一 y f xy yx y ' ( , ), ( ) = = 不求解析解 y = y(x) (无解析解或求解困难) 1 2 n 而在一系列离散点 xx x < <<< L L ( ) ( 1, 2 , ) n 求 的近似值y yx n n = L 通常取等步长h n 0 x = x nh + • 0 x 0 y y = y(x) y x y1 y2 yn ( ) n y x 1 x 2 x n x