三、综合题(46分) 1.设有双射fA→B,试构造从P(4到PB的一个双射,并证明之。(15分,给 出双射5分,证明10分) 2.某一个市镇只有一家旅馆,这个旅馆与通常旅馆没有不同,只是房间数不是 有限而是无穷多间,房间号码为1,2,3,4,……我们不妨管它叫希尔伯特旅 馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1,2,3,4,…,称为可列集 有一天,所有房间都住满了。后来来了一位客人,坚持要住房间。旅馆老 板于是引用“旅馆公理”说:“满了就是满了,非常对不起!”。正好这时候,聪 明的旅馆老板的女儿来了,她看见客人和她爸爸都很着急,就说:“这好办,请 每位顾客都搬一下,从这间房搬到下一间”。于是1号房间的客人搬到2号房间, 2号房间的客人搬到3号房间……依此类推。最后1号房间空出来,请这位迟到 的客人住下了。 第二天,希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆,他们声称有 可数无穷多位代表一定要住,这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围 她说:“您让1号房间客人搬到2号,2号房间客人搬到4号……,k号房间客人 搬到2k号,这样,1号,3号,5号,……房间就都空出来了,代表团的代表都 能住下了。 第三天,这个代表团每位代表又出新花招,他们想每个人占可数无穷多间 房来安排他们的亲戚朋友,这回不仅把老板难住了,连老板的女儿也被难住了 (1)现在您担任希尔伯特旅馆的客房经理,您准备采取什么方法解决当前的住宿 问题 (2)后来老板的女儿进了大学数学系。有一天,康托尔教授来上课,他问老板的 女儿:“要是区间⑩,1上每一点都占一个房间,是不是还能安排?”也请您3 三、综合题（46 分） 1．设有双射 f: A→B，试构造从 P(A)到 P(B)的一个双射，并证明之。（15 分，给 出双射 5 分，证明 10 分） 2．某一个市镇只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不同，只是房间数不是 有限而是无穷多间，房间号码为 1，2，3，4，……我们不妨管它叫希尔伯特旅 馆。这个旅馆的房间可排成一列的无穷集合(1，2，3，4，…)，称为可列集。 有一天，所有房间都住满了。后来来了一位客人，坚持要住房间。旅馆老 板于是引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”。正好这时候，聪 明的旅馆老板的女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急，就说：“这好办，请 每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。于是 1 号房间的客人搬到 2 号房间， 2 号房间的客人搬到 3 号房间……依此类推。最后 1 号房间空出来，请这位迟到 的客人住下了。 第二天，希尔伯特旅馆又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有 可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆经理难住了。老板的女儿再一次来解围， 她说：“您让 1 号房间客人搬到 2 号，2 号房间客人搬到 4 号……，k 号房间客人 搬到 2k 号，这样，1 号，3 号，5 号，……房间就都空出来了，代表团的代表都 能住下了。” 第三天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占可数无穷多间 房来安排他们的亲戚朋友，这回不仅把老板难住了，连老板的女儿也被难住了。 (1) 现在您担任希尔伯特旅馆的客房经理，您准备采取什么方法解决当前的住宿 问题？ (2) 后来老板的女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课，他问老板的 女儿：“要是区间[0，1]上每一点都占一个房间，是不是还能安排？”也请您