§19.4 Legendre多项式的正交完备 第10页 819.4 Legendre多项式的正交完备性 Legendre多项式是作为本征值问题的本征函数出现的,因此,从本征值问题出发,可 以证明 Legendre多项式的正交性,即不同次数的 Legendre多项式在区间[-1,1上正 父 (x)Pk(x)dx=0,k≠l 可以从方程出发来证明 现在用另一种方法证明这个结果 先计算积分 rp,lc)dx 其中k和l都是非负整数 ★对于这个积分,从被积函数的奇偶性可以判断 xP2(x)dx=0,当k±l=奇数 当k±l为偶数时,可将P(x)用它的微分表示代入,于是有 rPi(r) 由于x(z2-1)中一定含有因子(x2-1),所以在代入上下限x=±1后,分部积 分出来的项一定为0,于是就有 rhPi(e)dr=2t -1)dx dr dxl-1 这样,分部积分一次,其效果就表现在三方面 (1)改变一次正负号 2)对函数(x2-1)的微商减少一次 (3)对函数x的微商增加一次 这样,分部积分l次后,微商运算就全部转移到函数xk上,结果就变为 P(x)4=西/(-y2n r2-1)da 这时有两种可能,一是k<l,函数ck微商l次一定为0,于是 x2P2(x)dx=0,当k<lWu Chong-shi §19.4 Legendre ✇①②❅❮❰ÏÐÑ ❇ 10 ❈ §19.4 Legendre ✛✜✢❋ÒÓÔÕÖ Legendre ✍➜▲✡★ ☛ ✱➝✎ ➞➟✣✱➝✂✄ ■➠✣ ✕×Ø✕Ù ✱➝✎ ➞➟ ■Ú✕✖ ✛Û Ü Legendre ✍➜▲✣ÝÞ✻ ✕ß àáâ⑨ã Legendre äåæ❺çè [−1, 1] éê ë ✕ Z 1 −1 Pl(x)Pk(x)dx = 0, k 6= l. ① ❶➵❴❵➈ × ✷➊ Ï❂ ✩⑤ ✲ ➘➯ì❴ö➊ Ï ❛ ❦➽Ú❂ í ➒îïõ Z 1 −1 x kPl(x)dx, ➑ ➄ k ♥ l q ❞➔➛❦ ➀❂ F ➾➚❛ ❦ ïõ✕➵ðïÝ ➀❝❧➻➋①❶ñ↕ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 0, ➪ k ± l = ❧ ➀. F ➪ k ± l ❷➻ ➀➴✕①➷ Pl(x) ✲ ➏❝ôõ➜➸ èé✕ ➚ ❞ ✐ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 x k d l dx l ￾ x 2 − 1
l dx = 1 2 l l!  x k d l−1 dx l−1 ￾ x 2 − 1
l    1 −1 − Z 1 −1 dx k dx d l−1 dx l−1 ￾ x 2 − 1
l dx  . ￾✁ d l−1 dx l−1 ￾ x 2 − 1
l ✿ò ✓ó✑ ×ô ￾ x 2 − 1
✕õ ✛ ☛ö÷ø✏ù x = ±1 ✠ ✕✑úû ✑ ■ü✣➜ ò ✓ ☛ 0 ✕✁✡❬✑ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 (−) 1 dx k dx d l−1 dx l−1 ￾ x 2 − 1
l dx. ❛❍✕õýïõ➯û✕➑þÚ ê➜✩⑤ ❥ ❴⑧❲ (1) ✭ ✓òÿÝ ￾✁ý (2) ❭✂✄ ￾ x 2 − 1
l ✣❘✂✄ ☎òÿý (3) ❭✂✄ x k ✣❘✂✆✝òÿ❂ ❛❍✕õýïõ l û ▲ ✕ôÿ✞îê⑥ý❆✟↔ Ý ➀ x k ➧✠➽✡☛☞✌ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 1 2 l l! Z 1 −1 (−) l d lx k dx l ￾ x 2 − 1
l dx. ✍✎✏✑✒✓✔✠✕✖ k < l ✠✗✘ x k ✙✚ l ✛ ✕✜✌ 0 ✠✢✖ Z 1 −1 x kPl(x)dx = 0, ✣k < l