Thomassen定理(1994)：设G是一个已经嵌入到平面上且所有的有界面都是三角形 (也叫3-面)的平面图，设外面沿着边界形成的圈为0（这个圈也叫外面圈）.如果圈 C上相邻的v1和V2分别已经染了1和2色，C上其它，点的列表至少有3个颜色（即对任意 的)，C内的所有点的列表至少有5个颜色，那么这两个点的染色可以扩充为整个图的 L一列表染色。 证明（对图的顶点用数学归纳法）：如果=3且G=C,结论是显然成立：假设顶点数小于k的所有满足条 件的平面图都可以列表染色，下面设H顶点数为k的平面图。 假如C上有一条弦vW(2≤i≤j-2≤p-1)(vp+1=V1)。那么这条弦就把此图分成两个部分：圈 C1=V1V2…V+1…V1围成的部分和圈C2=VV+1…-1围成的部分.根据归纳法，先给C1围成的图 染色，这样v和V就染好了，把它们当作C1的V和V2,也可以染C2围成的区域。所以我们下面假设C不含 弦。 设Vp的邻点按照顺时针方向分别为V1,u1,U2,,um,Vp-1,因为C的内部都是三角形，这些点可以组成一条 路P=V1UhU2umVp-1.从而是PU(C-Vp)是H=G-Vp的外圈.这样设x和y是L(p)八{1)中的两个不同的颜色。 令(u)=L(u)八{X,y(1≤1≤m),L(v)=L(v)(veV(H)八{u1,…,um}根据归纳法可知：H是-可染的，最 后只要把x或y去染Vp使得vp和vp-不同色就可以了。Thomassen定理(1994)：设G是一个已经嵌入到平面上且所有的有界面都是三角形 （也叫3-面）的平面图，设外面沿着边界形成的圈为C (这个圈也叫外面圈).如果圈 C上相邻的v1和v2分别已经染了1和2色，C上其它点的列表至少有3个颜色(即对任意 的), C内的所有点的列表至少有5个颜色，那么这两个点的染色可以扩充为整个图的 L-列表染色。 证明（对图的顶点用数学归纳法）：如果p=3且G=C, 结论是显然成立；假设顶点数小于k的所有满足条 件的平面图都可以列表染色，下面设H顶点数为k的平面图。 假如C上有一条弦vivj (2 ≤ i ≤ j − 2 ≤ p − 1)(vp+1 = v1)。那么这条弦就把此图分成两个部分：圈 C1=v1v2 … vivjvj+1 … v1围成的部分和圈C2=vjvivi+1 … vj−1vj围成的部分. 根据归纳法，先给C1围成的图 染色，这样vi和vj就染好了，把它们当作C1的v1和v2，也可以染C2围成的区域。所以我们下面假设C不含 弦。 设vp的邻点按照顺时针方向分别为v1,u1,u2,…,um,vp-1, 因为C的内部都是三角形，这些点可以组成一条 路P=v1u1u2…umvp-1. 从而是P ∪ (C − vp)是H=G-vp的外圈。这样设x和y是L(vp)\{1}中的两个不同的颜色。 令L ′ (ui ) = L(ui )\{x, y}(1 ≤ i ≤ m), L ′ (v) = L(v)(v ∈ V(H)\{u1, … , um} .根据归纳法可知：H是-可染的，最 后只要把x或y去染vp使得vp和vp-1不同色就可以了