第11期 陈先中等：超声测距系统的高精度中心椭圆算法 ,1155 图3为峰值部分的放大图，若想提高测量精度，就 展开整理后使用一种变量代换方法[6]将复杂 要测得精确的超声波在空气中传播时间，根据对滤 的非线性方程简化，变换后平面任意位置椭圆方程 波后的信号分析，以及能量重心校正方法和最小二 式可以表示为如下形式： 乘法，提出了一种寻找回波信号峰值点的新算法 x2+Axy+By2+Cx+Dy+E=0 (2) 一中心椭圆算法，以精确推算超声波接收信号的 这样，求解椭圆系数的方程就是一组关于A、 峰值点，提高测量精度 B、C、D和E的线性方程，根据最小二乘法原理利 70F 用回波信号峰值点附近的N个点的坐标，求得椭圆 65 原信号 零相位滤波信号 系数，得到椭圆方程，建立椭圆拟合的数学模型，来 60 一般滤波信号 获取A、B、C、D和E这五个特征参数. 设定椭圆长轴与x轴的夹角0=0°或90°，即椭 圆对称轴与坐标轴平行的情况下进行数据拟合，可 把式(2)变换为： x2+Ay2+Bx十C+D=0 (3) 35 这样就可由A、B、C和D来确定所拟合的椭圆，在 20002105210021502200225023002350 时间，s 进行拟合时，采用最小二乘法门依次确定式(3)中 的未知数A、B、C和D,由此推导出椭圆的基本参 图3经过零相位滤波后的信号 数：椭圆中心坐标(x0,yo),长轴半径a,短轴半 Fig.3 Signals after no-bias phase filtering 径b. 能量重心校正法是针对加对称窗情况的算 法③].选择合适的窗函数可以减小频谱泄漏误差 依据上述最小二乘法的原理，测量点与理想曲 以Hanning窗为例，Hanning窗的定义为 线间误差为： w(n)=0.5-0.5cos(2πn/N),n=1,2,…,N-1, 9(A,B,C,D)= (x+Ay+Bx:+Cyi+D)2 其频谱模函数为 W(x)=sinzx 1 (4) πx2(1-x2) 由数学分析可知使A、B、C和D满足导数为 令功率谱函数G(x)=W(x),则有 零的点为极值点： sinfπx G(x)-4x21-x22 a9_9=9=9=0 aa ab ac aD (5) 对任意一确定值x,当no(n为自然数)， 由此得下列方程组： G(x+(x+)=0 =一 成立.表明noo时，Hanning窗离散频谱的能量重 心无穷逼近坐标原点. 之 A 根据能量重心校正法的原理，离散窗谱的能量 重心都在原点附近，而超声波回波信号的能量分布 情况与离散窗谱类似，所以提出中心椭圆算法，对经 过滤波和阈值法处理过的信号进行运算，拟合出椭 N 圆，回波信号能量都集中在椭圆的中心点，这一点即 为回波信号的峰值点，具体的算法如下： 处于XY平面内任意位置的椭圆可以用五个 独立参数来唯一确定，这五个参数是：椭圆中心坐标 (x0,yo),长轴半径a,短轴半径b,长轴与x轴的 夹角.将平面任意位置椭圆的方程表达为)]： (6) [(x-xo)cos0(y-ro)sin0 d [-(x-xo)sin0+(y-yo)cos0]=1 6 (1)图3为峰值部分的放大图．若想提高测量精度‚就 要测得精确的超声波在空气中传播时间‚根据对滤 波后的信号分析‚以及能量重心校正方法和最小二 乘法‚提出了一种寻找回波信号峰值点的新算法 ———中心椭圆算法‚以精确推算超声波接收信号的 峰值点‚提高测量精度． 图3 经过零相位滤波后的信号 Fig．3 Signals after no-bias phase filtering 能量重心校正法是针对加对称窗情况的算 法［3］．选择合适的窗函数可以减小频谱泄漏误差． 以 Hanning 窗为例‚Hanning 窗的定义为 w（ n）＝0∙5—0∙5cos（2πn／N）‚n＝1‚2‚…‚N—1‚ 其频谱模函数为 W（ x）＝ sinπx πx 1 2（1— x 2） ‚ 令功率谱函数 G（ x）＝ W 2（ x）‚则有 G（ x）＝ sin 2πx 4π2 x 2（1— x 2） 2‚ 对任意一确定值 x‚当 n→∞（ n 为自然数）‚ ∑ n i＝—n G（ x＋ i）（ x＋ i）＝0 成立．表明 n→∞时‚Hanning 窗离散频谱的能量重 心无穷逼近坐标原点［4］． 根据能量重心校正法的原理‚离散窗谱的能量 重心都在原点附近‚而超声波回波信号的能量分布 情况与离散窗谱类似‚所以提出中心椭圆算法‚对经 过滤波和阈值法处理过的信号进行运算‚拟合出椭 圆‚回波信号能量都集中在椭圆的中心点‚这一点即 为回波信号的峰值点．具体的算法如下： 处于 XY 平面内任意位置的椭圆可以用五个 独立参数来唯一确定‚这五个参数是：椭圆中心坐标 （ x0‚y0）‚长轴半径 a‚短轴半径 b‚长轴与 x 轴的 夹角θ．将平面任意位置椭圆的方程表达为［5］： ［（ x— x0）cosθ＋（ y—y0）sinθ］ 2 a 2 ＋ ［—（ x— x0）sinθ＋（ y—y0）cosθ］ 2 b 2 ＝1 （1） 展开整理后使用一种变量代换方法［6］ 将复杂 的非线性方程简化．变换后平面任意位置椭圆方程 式可以表示为如下形式： x 2＋ A xy＋By 2＋Cx＋ Dy＋ E＝0 （2） 这样‚求解椭圆系数的方程就是一组关于 A、 B、C、D 和 E 的线性方程．根据最小二乘法原理利 用回波信号峰值点附近的 N 个点的坐标‚求得椭圆 系数‚得到椭圆方程‚建立椭圆拟合的数学模型‚来 获取 A、B、C、D 和 E 这五个特征参数． 设定椭圆长轴与 x 轴的夹角θ＝0°或90°‚即椭 圆对称轴与坐标轴平行的情况下进行数据拟合‚可 把式（2）变换为： x 2＋ Ay 2＋Bx＋Cy＋ D＝0 （3） 这样就可由 A、B、C 和 D 来确定所拟合的椭圆．在 进行拟合时‚采用最小二乘法［7］ 依次确定式（3）中 的未知数 A、B、C 和 D．由此推导出椭圆的基本参 数：椭圆中心坐标（ x0‚y0）‚长轴半径 a‚短轴半 径 b． 依据上述最小二乘法的原理‚测量点与理想曲 线间误差为： φ（ A‚B‚C‚D）＝ ∑ N i＝1 （ x 2 i＋ Ay 2 i＋Bxi＋Cyi＋ D） 2 （4） 由数学分析可知使 A、B、C 和 D 满足导数为 零的点为极值点： ∂φ ∂A ＝ ∂φ ∂B ＝ ∂φ ∂C ＝ ∂φ ∂D ＝0 （5） 由此得下列方程组： ∑ N i＝1 y 4 i ∑ N i＝1 xiy 2 i ∑ N i＝1 y 3 i ∑ N i＝1 y 2 i ∑ N i＝1 xiy 2 i ∑ N i＝1 x 2 i ∑ N i＝1 xiyi ∑ N i＝1 xi ∑ N i＝1 y 3 i ∑ N i＝1 xiyi ∑ N i＝1 y 2 i ∑ N i＝1 yi ∑ N i＝1 y 2 i ∑ N i＝1 xi ∑ N i＝1 yi N A B C D ＝ ∑ N i＝1 x 2 iy 2 i ∑ N i＝1 x 3 i ∑ N i＝1 x 2 iyi ∑ N i＝1 x 2 i （6） 第11期 陈先中等： 超声测距系统的高精度中心椭圆算法 ·1155·