.746 工程科学学报，第43卷，第6期 achievements in recent years were summarized from five aspects:optimal particle selection strategies,diversity maintenance mechanisms,convergence improvement measures,coordination methods between diversity and convergence,and improvement schemes of iterative formulas,parametric and topological structure.Finally,the problems to be solved and the future research direction of the multiobjective particle swarm optimization algorithm were presented. KEY WORDS multiobjective optimization;particle swarm optimization algorithm;convergence;diversity;evolutionary algorithm 多目标优化问题具有多个相互冲突的目标函 优化问题的解，利用群体中个体与最优个体以及 数，某一目标求得的最佳方案，不可能同时使得其 个体之间的信息交互，引导整个群体中个体在保 他目标为最优值，甚至导致退化.多目标优化川作 留自身多样性信息的同时，朝向群体最优个体收 为一类复杂的最优化问题，既被用于生产调度、城 敛，通过不断地更新逐渐找到最优解.鸟群中个体 市运输、网络通信等系统的实时设计，又涉及工程 被抽象为“粒子”，忽略其质量、体积，拓扑结构决 设计、数据挖掘、资本预算等智能规划问题，无论 定了每次迭代时“粒子”受到自身和群体状态信息 是在理论研究还是工程实践中都具有深远的意 的综合影响，即粒子的更新机制是通过种群历史 义，随着现实世界中问题所呈现的多元化、规模 最优粒子和个体历史最优粒子的有机结合得到， 化发展模式，多目标优化问题面临着非线性、多维 如图1所示.粒子i下一时刻的速度(t+1)是由当 度、智能性、动态规划等多方面的严峻挑战 前速度：()、其自身最优位置pb;①)、全局最优位置 传统的多目标优化方法主要有：加权求和法回、 gb()共同决定的，该粒子以更新后速度从当前位 约束法)、目标规划法、距离函数法以及极大 置x:)移至新的位置x(t+1).随着迭代的不断深 极小法向等.这些优化方法大多是采取不同的策 人，整个粒子群体在“引领者”的带动下，完成决策 略将多目标问题分解为单目标问题，再使用单目 空间中最优解的搜索 标算法完成优化，依赖于先验知识，受限于Pareto 前沿的形状.尤其是当多目标问题呈现出非线 性、高维度等复杂特性时，传统方法很难确保好的 x(什1) 优化效果甚至不可行 近年来，进化算法将生物信息融入元启发式 v以)F (什1) 算法之中，凭借其独特的更新机制，在组合优化和 数值优化领域☑均已取得了很多突破性研究成果 gb(1) 典型的多目标进化算法有：多目标粒子群算法⑧ 多目标蜂群算法，多目标蚁群算法o,多目标免 pb(1) 疫算法，多目标差分算法1等.粒子群算法是一 x(1) 种受到自然界中鸟类群体觅食行为的启发而发展 起来的进化算法，鉴于其实现简单、搜索高效、收 0 敛快速等优势，不仅在各类复杂的实验测试中还 图1决策空间中粒子移动示意图 Fig.I Image of particle movement in the decision space 是实际工程应用中，均得到了广泛应用 1基本粒子群算法 2多目标粒子群算法存在的问题 1995年，Kennedy和Eberhart两位博士l]共同 多目标粒子群算法凭借其高效、快速的优势 提出了粒子群优化算法(Particle swarm optimization, 成为了多目标优化的主要研究方向.处理多目标 PSO).ven den Bergh从理论角度对PSO算法的 优化问题时，既要克服传统多目标优化过程中的 稳定性和收敛性进行了分析和证明.2002年，Cello 普遍性难点，又要考虑粒子群算法用于多目标优 与Lechuga正式发表了多目标粒子群优化算法的 化时的针对性问题.归纳如下： 成果.粒子群算法求解多目标优化问题，称为多目 (1)优化过程中，如何挑选“领导”粒子，带领 标粒子群(Multiobjective particle swarm optimization, 整个种群在保留部分个体信息的前提下快速逼近 MOPSO)算法 帕累托前沿，即最优粒子选择策略； PS0算法中，将鸟群的个体位置或食物当作 (2)粒子群算法中，种群个体受到“最优”粒子achievements  in  recent  years  were  summarized  from  five  aspects:  optimal  particle  selection  strategies,  diversity  maintenance mechanisms, convergence improvement measures, coordination methods between diversity and convergence, and improvement schemes of iterative formulas, parametric and topological structure. Finally, the problems to be solved and the future research direction of the multiobjective particle swarm optimization algorithm were presented. KEY WORDS    multiobjective optimization；particle swarm optimization algorithm；convergence；diversity；evolutionary algorithm 多目标优化问题具有多个相互冲突的目标函 数，某一目标求得的最佳方案，不可能同时使得其 他目标为最优值，甚至导致退化. 多目标优化[1] 作 为一类复杂的最优化问题，既被用于生产调度、城 市运输、网络通信等系统的实时设计，又涉及工程 设计、数据挖掘、资本预算等智能规划问题，无论 是在理论研究还是工程实践中都具有深远的意 义. 随着现实世界中问题所呈现的多元化、规模 化发展模式，多目标优化问题面临着非线性、多维 度、智能性、动态规划等多方面的严峻挑战. 传统的多目标优化方法主要有：加权求和法[2]、 约束法[3]、目标规划法[4]、距离函数法[5] 以及极大 极小法[6] 等. 这些优化方法大多是采取不同的策 略将多目标问题分解为单目标问题，再使用单目 标算法完成优化，依赖于先验知识，受限于 Pareto 前沿的形状. 尤其是当多目标问题呈现出非线 性、高维度等复杂特性时，传统方法很难确保好的 优化效果甚至不可行. 近年来，进化算法将生物信息融入元启发式 算法之中，凭借其独特的更新机制，在组合优化和 数值优化领域[7] 均已取得了很多突破性研究成果. 典型的多目标进化算法有：多目标粒子群算法[8] ， 多目标蜂群算法[9] ，多目标蚁群算法[10] ，多目标免 疫算法[11] ，多目标差分算法[12] 等. 粒子群算法是一 种受到自然界中鸟类群体觅食行为的启发而发展 起来的进化算法，鉴于其实现简单、搜索高效、收 敛快速等优势，不仅在各类复杂的实验测试中还 是实际工程应用中，均得到了广泛应用. 1    基本粒子群算法 1995 年，Kennedy 和 Eberhart 两位博士[13] 共同 提出了粒子群优化算法 (Particle swarm optimization， PSO). ven den Bergh[14] 从理论角度对 PSO 算法的 稳定性和收敛性进行了分析和证明. 2002 年，Cello 与 Lechuga[15] 正式发表了多目标粒子群优化算法的 成果. 粒子群算法求解多目标优化问题，称为多目 标粒子群（Multiobjective particle swarm optimization， MOPSO）算法. PSO 算法中，将鸟群的个体位置或食物当作 vi(t+1) vi(t) pbi(t) gb(t) xi(t) xi(t+1) 优化问题的解，利用群体中个体与最优个体以及 个体之间的信息交互，引导整个群体中个体在保 留自身多样性信息的同时，朝向群体最优个体收 敛，通过不断地更新逐渐找到最优解. 鸟群中个体 被抽象为“粒子”，忽略其质量、体积，拓扑结构决 定了每次迭代时“粒子”受到自身和群体状态信息 的综合影响，即粒子的更新机制是通过种群历史 最优粒子和个体历史最优粒子的有机结合得到， 如图 1 所示. 粒子 i 下一时刻的速度 是由当 前速度 、其自身最优位置 、全局最优位置 共同决定的，该粒子以更新后速度从当前位 置 移至新的位置 . 随着迭代的不断深 入，整个粒子群体在“引领者”的带动下，完成决策 空间中最优解的搜索. O X Y vi (t) vi (t+1) xi (t+1) gb(t) pbi (t) xi (t) 图 1    决策空间中粒子移动示意图 Fig.1    Image of particle movement in the decision space 2    多目标粒子群算法存在的问题 多目标粒子群算法凭借其高效、快速的优势， 成为了多目标优化的主要研究方向. 处理多目标 优化问题时，既要克服传统多目标优化过程中的 普遍性难点，又要考虑粒子群算法用于多目标优 化时的针对性问题. 归纳如下： （1）优化过程中，如何挑选“领导”粒子，带领 整个种群在保留部分个体信息的前提下快速逼近 帕累托前沿，即最优粒子选择策略； （2）粒子群算法中，种群个体受到“最优”粒子 · 746 · 工程科学学报，第 43 卷，第 6 期