第六章 Fourier级数 §6.1周期函数 Fourier级数 1.1引言 在科学与工程中时常遇到周期现象,自然地,通常用周期函数刻画它们.蒸汽机和各种 转动设备都是周期现象的实例,由发电机产生的交流电也是周期现象的实例.这样,如蒸汽 机中十字头的路程、速度、加速度、蒸汽压力和交流电中的电压、电流等都用周期函数来刻 如果存在一个正数T>0,使得 我们就称q(m)为周期函数,T称为一个周期.如果存在最小的周期T,我们称(m)是以T 为周期的周期函数 最简单的周期函数是正弦型函数: Asin(ot+a) (1) 它正好刻画了力学上的调和振动(或简谐振动).其中是频率,它与周期的关系是 A是振幅,α是初始相位 用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数.因为频率相等的正弦型函数之 和仍是一个同频率的正弦型函数,所以用以组成复杂函数的各正弦型函数必须有不同的频 例如三个正弦型函数之和 sin t+-sin 2t +-sin 3t 图形就已经相当复杂了.在 Mathematica软件中可画它的图形 Plot[Sin[t]+1/2Sin[2t]+1/4Sin[3t,t, -2P1, 2PilI 可以想象如果用无穷级数,就可以表示各种各样的复杂函数了 q()=A6+∑Asn(not+an) (3) 几何上看,(3)表明周期函数p(1)的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成.力学上 看,由函数q(1)表示的复杂振动可以分解成调和振动的和.将周期函数分解成调和振动函 数的过程称为调和分析作简单变量替换x=0,有函数()(2)则(3)式成为142 第六章 Fourier级数 §6.1 周期函数 Fourier级数 1.1 引言 在科学与工程中时常遇到周期现象, 自然地, 通常用周期函数刻画它们. 蒸汽机和各种 转动设备都是周期现象的实例, 由发电机产生的交流电也是周期现象的实例. 这样, 如蒸汽 机中十字头的路程、速度、加速度、蒸汽压力和交流电中的电压、电流等都用周期函数来刻 画. 如果存在一个正数T > 0 , 使得 j(t + T ) = j(t) , 我们就称j (t) 为周期函数, T 称为一个周期. 如果存在最小的周期T0 , 我们称j (t) 是以T0 为周期的周期函数. 最简单的周期函数是正弦型函数： Asin(w t +a) , （1） 它正好刻画了力学上的调和振动（或简谐振动）. 其中w 是频率, 它与周期的关系是 T p w 2 = , （2） A 是振幅, a 是初始相位. 用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数. 因为频率相等的正弦型函数之 和仍是一个同频率的正弦型函数, 所以用以组成复杂函数的各正弦型函数必须有不同的频 率. 例如三个正弦型函数之和 t t sin 3t 4 1 sin 2 2 1 sin + + , 图形就已经相当复杂了. 在 Mathematica 软件中可画它的图形. Plot[Sin[t]+1/2Sin[2t]+1/4Sin[3t], {t,-2Pi,2Pi}]. 可以想象如果用无穷级数, 就可以表示各种各样的复杂函数了： å +¥ = = + + 1 0 ( ) sin( ) n n n j t A A nw t a , （3） 几何上看, （3）表明周期函数j (t) 的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成. 力学上 看, 由函数j (t) 表示的复杂振动可以分解成调和振动的和. 将周期函数分解成调和振动函 数的过程称为调和分析. 作简单变量替换x =w t , 得函数 ÷ ø ö ç è æ = w j x f (x) , 则（3）式成为