第三章导数与微分 例3:y=hn(x+ ),求y(x) 解(x+x+(x+√x+a)x+(x+a2) 1+(x2+a2)2(x2+a2)’1+(x2+a2)2.2x 例3:f(x) Sn(2 arctan-),x≠0 求f(x) 0 解当x≠0,f(x)=co2 arctan2 arctan 2 cos 2 arctan 2 arctan sin 2 arctan 当x=0,f(0)=lmn ,令u= arctan-→-=tan f(o=lim sin(2u) tan u= lim 2sin2u=2 → f'(x)=lim 2 cos 2 arctan lim cos 2 arctan-=2 x→01+x 这里有:Imf(x)=f(0)=2,这是必然的吗? 另解:令l= arctan-→-=tanu→snl= coSu= f(x)=sin[ 2 arctan-=sin 2u=2sin ucosu 第三章导数与微分第三章 导数与微分 第三章 导数与微分 例 3: y = ln(x + x +a ) 2 2 ,求 y (x). 解: . ( ) ( ) (ln( )) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x a x x a x x a x x a x x a + + + +  = + + + +  + +  = = 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 ( ) 2 2 1 ( ) ( ) 1 2 1 1 x x a x a x x x a x a x a + + + +  = + + + + +  − − . 1 2 2 x +a = 例 3: ( )      =  = 0 , 0 ), 0 1 sin( 2arctan x x f x x , 求 f (x) . 解: 当 x  0, ( )               = x x f x 1 2arctan 1 cos 2arctan =       + − =        + −       x x x x x 1 cos 2arctan 1 2 1 1 1 1 2cos 2arctan 2 2 2 ; 当 x = 0, ( )         = → x x f x 1 sin 2arctan 0 lim 0 , 令 u x x u tan 1 1 = arctan  = , (0) lim sin (2 ) tan lim 2sin 2 2 2 2  =  = = → → f u u u u u   . ( ) 2 1 lim cos 2arctan 1 2 lim 1 cos 2arctan 1 2 lim lim 0 2 0 2 0 0  =       + −  =      + −  = → → x x → x → x f x x x x x 这里有： lim ( ) (0) 2 0  = = → f x f x , 这是必然的吗？ 另解：令 u x x u tan 1 1 = arctan  = 2 2 1 , cos 1 1 sin x x u x u + = +  = ( ) 2 1 2 sin 2 2sin cos 1 sin 2arctan x x u u u x f x +  = =  =      = ;