第二章极限论 证明:假定存在x0>0使得f(x0)>0,需证: 存在∈(0,+∞),使得f(2)=max{f(x)|0≤x<+∞} imf(x)=0→N>0,Vx∈(N,+∞):|f(x)kf(xo) N>xo,f(x)的最大值点在[0,N]。 f∫(x)在有界闭区间[O,N]上连续→存在ξ∈[0,N],使得 ∫(5)=max{f(x)|a≤x≤b} 即,f(5)是f(x)在[0,+∞)的正最大值 假定存在x0>0使得f(x0)<0,类似可证明存在n∈(0,+∞) 使得f(m)=mn{f(x)|0≤x<+∞}<0 定理3(零点定理)设∫∈C[a,b]且f(a)·f(b)<0,则存在 5∈(ab),使∫(5)=0 推论:(中值定理)设∫∈C[a,b]且f(a)≠f(b),则对介于 f(a),f(b)之的每个实数,都存在∈(a,b) 使得∫(5) 证明:只要设g(x)=f(x)-4,再利用以上定理即可。 例2设n≥1,p(x)= 求证 (1)若n为奇数,则方程p(x)在(-∞,+∞)至少有一个零点 (2)若n为偶数,且存在x0使得p(x0)<0,则p(x)在(-O,+∞)至 少有两个零点 证明 (1)设n为奇数,则当x→>+∞时,p(x)→>+∞ 当x→>-∞时,p(x)→- 于是存在实数N1,N2,使得当x<M1时,恒有p(x)<0 当x>N2时,恒有p(x)>0 任取x1<N1,x2>N2则有p(x1)<0,p(x)>0 在区间[x12x2]由零点定理可知,存在5∈(x1,2x2),使得 p()=0 (2)设n为偶数,则x→+∞和x→-时都有p(x)→>+∞ 于是存在N1>0,N2>0 x,< 和x2>N2时都有p(x1)>0,P(x2)>0 第二章极限论第二章 极限论 第二章 极限论 证明: 假定存在 x0  0 使得 f (x0 )  0 , 需证： 存在   (0,+  ),使得 f ( ) = max{ f (x) | 0  x  +}. lim ( ) = 0 →+ f x x  N  0 , x(N,+) : | ( ) | ( ) 0 f x  f x  0 N x , f (x) 的最大值点在 [0,N]。 f (x) 在有界闭区间 [0, N] 上连续  存在  [0, N],使得 f ( ) = max{ f (x) | a  x  b}. 即， f ( ) 是 f (x) 在 [0,+) 的正最大值. 假定存在 x0  0 使得 f (x0 )  0 ,类似可证明存在   (0,+  ), 使得 f ( ) = min{ f (x) | 0  x  +}  0 . 定理 3 (零点定理) 设 f C[a,b] 且 f (a)  f (b)  0 , 则存在  (a,b ),使 f ( ) = 0 . 推论:(中值定理) 设 f C[a,b],且 f (a)  f (b) ,则对介于 f (a) , f (b) 之的每个实数  ,都存在  (a,b ), 使得 f ( ) =  . 证明：只要设 g(x) = f (x) −  ，再利用以上定理即可。 例 2:设 n 1, p x x a x a x a x n n n n = + + + − + + 1 1 1 ( )  .求证: (1)若 n 为奇数,则方程 p(x) 在 (−,+) 至少有一个零点. (2)若 n 为偶数,且存在 0 x 使得 p(x0 )  0 , 则 p(x) 在 (−,+) 至 少有两个零点. 证明: (1) 设 n 为奇数, 则当 x → + 时, p(x) → +, 当 x →− 时, p(x) → −. 于是存在实数 1 2 N ,N ,使得当 N1 x  时,恒有 p(x)  0 ; 当 N2 x  时,恒有 p(x)  0 . 任取 1 N1 x  , 2 N2 x  则有 p(x1 )  0 , p(x2 )  0 , 在区间 [ , ] 1 2 x x 由零点定理可知,存在 ( , ) 1 2   x x ,使得 p( ) = 0 . (2)设 n 为偶数, 则 x → + 和 x →− 时,都有 p(x) → +. 于是存在 1 2 N  0 ,N  0, 当 1 N1 x  − 和 2 N2 x  时,都有 p(x1 )  0, p(x2 )  0