第二章整数规划 概论 1.1定义 规划中的变量(部分或全部)限制为整数时,称为整数规划。若在线性规划模型中 变量限制为整数,则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法,往往只适 用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划, 2整数规划的分类 如不加特殊说明,一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类: 1°变量全限制为整数时,称纯(完全)整数规划。 2°变量部分限制为整数的,称混合整数规戋 3变量只能取0或1时,称之为0-1整数规划。 整数规划特点 (ⅱ)原线性规划有最优解,当自变量限制为整数后,其整数规划解出现下述情况: ①原线性规划最优解全是整数,则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解 例1原线性规划为 mn ==x,+ x2 st2x1+4x2=5,x≥0,x2≥0 其最优实数解为:x,=0,x24mnz=。 ③有可行解(当然就存在最优解),但最优解值一定不会优于原线性规划的最优值 例2原线性规划为 x1+x2 st2x1+4x2=6,x1≥0,x2≥0 其最优实数解为:x1=0,x2-2 若限制整数得:x1=1,x2=1,mz=2。 (ⅱi)整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得 1.3求解方法分类 (i)分枝定界法一可求纯或混合整数线性规划 (ⅱi)割平面法一可求纯或混合整数线性规划。 (ⅲi)隐枚举法一求解“0-1”整数规划: ①过滤隐枚举法 ②分枝隐枚举法 (ⅳ)匈牙利法一解决指派问题(“0-1”规划特殊情形)。 ⅴ)蒙特卡洛法一求解各种类型规划 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法 §2分枝定界法 对有约束条件的最优化问题(其可行解为有限数)的可行解空间恰当地进行系统搜 索,这就是分枝与定界内容。通常,把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集, 称为分枝;并且对每个子集内的解集计算一个目标下界(对于最小值问题),这称为定-11- 第二章 整数规划 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适 用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1 o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2 o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 3 o 变量只能取 0 或 1 时，称之为 0-1 整数规划。 整数规划特点 （i） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例 1 原线性规划为 min 1 2 z = x + x s.t. 2x1 + 4x2 = 5, x1  0, x2  0 其最优实数解为： 4 5 ,min 4 5 0, x1 = x2 = z = 。 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值一定不会优于原线性规划的最优值。 例 2 原线性规划为 min 1 2 z = x + x s.t. 2x1 + 4x2 = 6, x1  0, x2  0 其最优实数解为： 2 3 ,min 2 3 0, x1 = x2 = z = 。 若限制整数得： x1 =1, x2 =1,min z = 2。 （ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.3 求解方法分类： （i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的可行解空间恰当地进行系统搜 索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集， 称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定