5.解:013)=12,0(013)=012)=12×1×2=4,故13有4个原根2 令q=2,q2=3,经过验算得13的一个最小原根为2, 分 5,7,11与12互素, 13的全部原根为2=2,2≡6,27=11,2=7(md13)5分 6.解:由于4是16的约数,从上表可知ind13=4, 1分 所以同余式有解,解数为4 原同余式与nd2x≡ind313=4(modl6)同解 2分 解得ind3x≡1,5,9,13(mod16) 分 反查指标表,得解x=10,5,14,12(mod17 5分 四.1.证明:令2表示不超过a的最高次幂,即2a≤a≤2a+, 分 则1++…+的分母必为2“k,k为奇数 2分 2k2-k2%,k % 分 2ak2ak2“k 此时除 k 外均为偶数,故分子和为奇数,而分母和为偶数,故非整数。6分 2.证明:设a1=qm+b,q,b∈Z,i=1,2,…,(m,0≤b≤m-1(b,m)=1 分 Im 4分 ∵(b,m)=1,∴(b,m-b)=1 5分 取S=b+b2+…bm)=(m-b)+(m-b)+…+(m-bam) 6分 整理,得到∑b=m0m),因此s=(m) 8分 第2页共6页第 2 页 共 6 页 5．解： (13) 12 = ， 1 2 ( (13)) (12) 12 4 2 3   = =   = ，故 13 有 4 个原根 2 分 令 1 2 q q = = 2, 3 ，经过验算得 13 的一个最小原根为 2， 2 分 又∵ 1，5，7，11 与 12 互素， ∴ 13 的全部原根为 1 5 7 11 2 2, 2 6, 2 11, 2 7 (mod 13)     5 分 6．解：由于 4 是 16 的约数，从上表可知 3 ind 13 4 = ， 1 分 所以同余式有解，解数为 4 原同余式与 4 13 4 (mod 16) 3 3 ind x ind  = 同解 2 分 解得 3 ind x 1,5,9,13 (mod 16) ， 3 分 反查指标表，得解 x 10,5,14,12 (mod 17) 5 分 四．1．证明：令 2  表示不超过 a 的最高次幂，即 1 2 2 a  +   ， 1 分 则 1 1 1 2 a + + + 的分母必为 2 k  ， k 为奇数 2 分 1 1 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 k k k k k a k k k k k          − − + + + + 3 分 此时除 2 k k  外均为偶数，故分子和为奇数，而分母和为偶数，故非整数。6 分 2．证明：设 a q m b q b Z i m b m b m i i i i i i i = +  =   − = , , , 1,2, , ( ),0 1,( , ) 1  2 分 ∴ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 m m m i i i i i i i q m b b s b m m m    = = =     + = = =            4 分 ∵ ( , ) 1 i b m = ，∴ ( , ) 1 i i b m b − = 5 分 取 0 1 2 ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) m m s b b b m b m b m b = + + = − + − + + −   6 分 整理，得到 ( ) 1 1 ( ) 2 m i i b m m   =  = ，因此 ( ) 2 m s  = 8 分 3．证明：