§20.3 Legendre多项式应用举例 第8页 本题还有一种非标准的解法,即根据齐次方程和定解条件(有界条件和无穷远条件),求出 一般解,然后并不利用连接条件、根据 Legendre多项式的正交性定系数,而是把一般解看成是 u(r,B)在r=0或r=∞点的邻域内的 Taylor展开,设法找到u(r,)在某一特殊方向上的数 值,而后根据 Taylor展开的唯一性定出叠加系数 由于圆环的对称性,圆环上任意一点到轴线上(r,0)=(r,0)或(r,丌)点的距离相等,因而可以 由 Coulomb定律直接叠加出轴线上任意一点(r,0)或(r,π)的静电势, u(r,O)l=0.元 8m2Eo√a+r2-4neo√a+r2 乍 Taylor展开 4π∈oa (l!)2 另一方面,由一般解又可以得到 A1r2, Bur =丌 ∑(-)B1 r>a 者比较(根据是 Taylor展开的唯一性),就可以求得 47∈0a22l! (-)(2)!2+1 0. 47TEoa 221!1! 可以看出,这样得到的解式和前面的完全相同Wu Chong-shi §20.3 Legendre ❧♠♥❰ÏÐÑ t 8 ✉ ★✠➲✪✫Ú ÛÜÝ➒ âÞ ✱ßàáâ➌ãäå➄âæç (èéæçåêëìæç) ✱ ➃ ➇ íîâ ✱ïðñòóôõöæç÷àá Legendre ➍➎➏➒øùú➄ ➔û✱üýþíîâÿ￾ ý u(r, θ) ✁ r = 0 ✂ r = ∞ ✄➒➋☎✆➒ Taylor ✝✞✟✠Þ✡☛ u(r, θ) ✁☞✌✍✎ θ ✏✑✒✓✔ ✕ ✟✖✗✘✙ Taylor ✝✞✓✚✌✛✜✢✣✤✥✔ ✦ ✧★ ✩✪✫✬✭✮✟ ✩✪✯✰✱✲✳✴✵✶✯ (r, θ) = (r, 0) ✷ (r, π) ✳✫✸✹✺✻✟ ✼✽✾✿ ✧ Coulomb ❀❁❂❃❄❅❆✵✶✯✰✱✲✳ (r, 0) ✷ (r, π) ✫❇ ❈❉✟ u(r, θ)   θ=0,π = I 1 8π2ε0a dl √ a 2 + r 2 = 1 4πε0 1 √ a 2 + r 2 . ❊ Taylor ❋● u(r, θ)   θ=0,π =    1 4πε0a X∞ l=0 (−) l (2l)! 2 2l (l!)2  r a 2l , r < a, 1 4πε0r X∞ l=0 (−) l (2l)! 2 2l (l!)2 a r 2l , r > a. ❍✲■❏✟ ✧✲❑▲▼✾✿◆✴ u(r, θ)    θ=0 =    X∞ l=0 Alr l , r < a, X∞ l=0 Blr −l−1 , r > a ✷ u(r, θ)    θ=π =    X∞ l=0 (−) lAlr l , r < a, X∞ l=0 (−) lBlr −l−1 , r > a. ❖P ◗❘ (❙❚❯ Taylor ❋●✫❱✲✮) ✟❲✾✿❳◆ A2l = (−) l 4πε0a (2l)! 2 2l l! l! a −2l , A2l+1 = 0, B2l = (−) l 4πε0a (2l)! 2 2l l! l! a 2l+1, B2l+1 = 0. ✾✿❨❆✟❩❬◆✴✫▲❭❪❫❏✫❴❵✺❛✦