{x:f(x)2a}=∩x:f(x)>a-n}∈ (4)→(1).这是因为 f(x)<a}={x:f(x)≥a}∈ 因此,(1)(4)是等价的.为证(1)(4)蕴涵(5,我们证明(2)→(5) (2)→(5)令4={AcR:∫-(A)∈丌}.利用逆像的性质 f(UA)=US(A,) f-(4°)=(f-(A) 容易证明4是一个σ-代数.又令C是直线上左开右闭区间的全体.容易证明 o(C)=(R)(见第一章习题第42题)对任意左开右闭区间(a,b],我们有 ∫(a,b])={x:f(x)≤b}-{:f(x)≤a}∈ 故￠c4,从而B(R)=o(C)cA.这表明对任意B∈B(R),f-(B)∈丌 若∫是实值函数,我们还有 (5)→(1)设∫是实值函数.由于(-∞,a)是 Borel集,因此 {x:f(x)≤a}=f-(-∞,a)∈ 设∫是可测函数.由于单点集{a}(a是实数)是 Borel集,因此由定理2(5)知道 {x:f(x)=a}=∫-({a})是可测集.同理,以下几个集也是可测的 {x:a<∫(x)<b},{x:a≤∫(x)≤b}, {x:a<f(x)≤b},{x:a≤f(x)<b 此外,由于{x:∫(x)=+∞}=∩{x:f(x)>m},故{x:f(x)=+∞}是可测集.同理 {x:f(x)=-∞}也是可测集 可测函数的运算封闭性设∫和g是定义在x上的广义实值函数若f(x)和g(x)在某 一点x取异号的∞为值,则f(x)+g(x)无意义.此时规定∫(x)+g(x)=0.又定义 (vg(x)=maff(x),g(x),(fAg(x)=minf(x),g(x)) f(x)若f(x)≥0 若f(x)≥0 若(x)<O f(x)若f(x)<070 } . 1 { : ( ) } { : ( ) 1 ≥ = > − ∈F ∞ = ∩ n n x f x a x f x a (4)⇒(1). 这是因为 { : ( ) < } = { : ( ) ≥ } ∈F . c x f x a x f x a 因此, (1)—(4)是等价的. 为证(1)—(4)蕴涵(5), 我们证明(2)⇒(5). (2)⇒(5).令 { : ( ) } 1 1 A = ⊂ ∈F − A R f A . 利用逆像的性质 ( ) ( ), 1 1 1 1 ∪ ∪ ∞ = − ∞ = − = n n n f An f A ( ) ( ( )) , 1 c 1 c f A f A − − = 容易证明 A 是一个 σ − 代数 . 又令 C 是直线上左开右闭区间的全体. 容易证明 σ (C ) = ( ) 1 B R (见第一章习题第 42 题). 对任意左开右闭区间(a,b], 我们有 (( , ]) { : ( ) } {: ( ) } . 1 = ≤ − ≤ ∈F − f a b x f x b f x a 故C ⊂ A , 从而 ( ) 1 B R =σ (C ) ⊂ A . 这表明对任意 B ∈ ( ) 1 B R , ( ) . 1 ∈F − f B 若 f 是实值函数, 我们还有 (5)⇒ (1).设 f 是实值函数. 由于(−∞,a) 是 Borel 集, 因此 { : ( ) } (( , )) . 1 ≤ = −∞ ∈F − x f x a f a ■ 设 f 是可测函数. 由于单点集{a} ( a 是实数)是 Borel 集, 因此由定理 2(5)知道 { : ( ) } ({ }) 1 x f x a f a − = = 是可测集. 同理, 以下几个集也是可测的: { : ( ) }, { : ( ) }, x a fx b xa fx b << ≤≤ { : ( ) }, { : ( ) }. x a fx b xa fx b <≤ ≤< 此 外 , 由 于 { : ( ) } { : ( ) }, 1 ∩ ∞ = = +∞ = > n x f x x f x n 故 {x : f (x) = +∞} 是可测集 . 同 理 , {x : f (x) = −∞}也是可测集. 可测函数的运算封闭性 设 f 和 g 是定义在 X 上的广义实值函数. 若 f ( ) x 和 g x( ) 在某 一点 x 取异号的∞ 为值, 则 f () () x gx + 无意义. 此时规定 f x gx ( ) ( ) 0. + = 又定义 ( f ∨ g)(x) = max{ f (x), g(x)}, ( f ∧ g)(x) = min{ f (x), g(x)}.    < ≥ = + 0 ( ) 0. ( ) ( ) 0 f x f x f x f 若 若    − < ≥ = − ( ) ( ) 0. 0 ( ) 0 f x f x f x f 若 若