404 工程科学学报，第44卷.第3期 (a 致不同的收益矩阵，环境通过收益矩阵的变化直 接反过来影响策略演化动力学.Hilbe等将随机博 弈思想融入重复博弈，具体而言，每一轮的个体行 为及博弈共同决定下一轮的博弈5]此时，环境反 馈和直接互惠可以极大促进合作的演化，远高于 只有环境反馈或直接互惠所诱导的合作水平.类 似地，Su等将随机博弈思想融入规则网络群体54， d 其中博弈转移大大放松合作演化的条件，特别地， 即使在每个备选博弈中合作无法演化，而在备选 博弈间转移却能够促进合作的演化.Weitz等将群 体中博弈的变化由一个类似的复制动力学刻画， 图1五大促进合作涌现的机制(a)亲缘选择：(b)直接互惠：(c)间 发现群体在好环境、坏环境、合作、背叛间不断往 接互惠；(d)群组选择：(e)网络互惠 复震荡啊稍后的研究表明类似的震荡环也出现 Fig.I Five mechanisms for the emergence of cooperation(a)kin 在环境反馈下的非对称两人博弈和网络群体65刃 selection;(b)direct reciprocity;(c)indirect reciprocity;(d)group 同时研究框架被推广到公共品博弈58]，发现资源反 selection;(e)network reciprocity 馈可以有效促进合作的演化 较过程中，展现出来的身心特征上的彼此各不相 2复杂网络上演化博弈的理论分析方法 同的现象，这主要是由于个体的成长过程受遗传 和环境的交互影响.例如，主体间的能力有高低之 自从Nowak和May开创性地研究了方格网络 分，不同主体才能的形成有早有晚，且各有所长 群体中的囚徒困境5网，复杂网络上的演化博弈成 个体异质性在群体竞争中普遍存在，演化博弈研 为研究网络群体中策略竞争的有效工具.常见的网 究的异质个体可归为三类：其一是异质网络中，每 络包括规则网络、小世界网络、无标度网络和社 个主体参与博弈总次数呈现天然异质性，而这种 团结构网络，如图2所示5960.目前，国内外学者 异质性从整体上利于合作的演化.其二是个体 对复杂网络上的两策略竞争进行了系统的研究61-6烈， 间行为模式存在异质性，即个体与不同对手采取 相关研究大多利用计算机仿真进行63-8】而理论 不同策略、不同交互概率和模仿概率，这种差异性 分析是深刻理解网络群体中策略竞争的必要条 可以在一定条件下促进两人博弈啊或多人博弈中 件.在中性选择这种适应度与收益无关的特殊情 合作的演化6其三是公共品博弈的投资、产出和 形下，策略在网络的扩散过程仅仅依赖随机漂移 分配额因人而异.当产出的协同效应和折扣效应 (由状态更新过程本身的随机性所决定).相应固 以概率共存时，高概率的协同效应能够促进合作叨： 定概率具有封闭形式计算公式，这里的固定概率 在分配额越大的博弈中投资越多，越有利于合作 指的是单个变异体传播到整个群体的概率，具体 的演化，在重复博弈中，投资的极端异质性抑制 数值往往与变异体出现的位置相关.然而，复杂网 合作，而当个体间分配额存在差异时，适当的投资 络上一般演化博弈的理论研究较为稀少，且在弱 异质性反而是促进合作的必要条件例 选择情形下进行.弱选择意味适应度对收益依赖 策略演化动力学与环境相互影响而形成的反 程度较小，允许扰动理论的使用，从而获得解析成 馈在生物和社会系统中普遍存在.例如，接种疫苗 果.同时探索弱选择情形的演化博弈具有现实意 的不充分往往导致本可以预防的传染病大规模爆 义，因为每个主体在生活中参与大量博弈，而单一 发；之后，政府通过宣传疫苗接种必要性等反馈措 博弈对适应度的影响往往很小.况且在强选择情 施改善疫苗的接种环境和群体的决策行为.最近， 形下，即适应度依赖收益的程度较大，相应固定概 环境反馈对于合作演化的影响激发了研究人员的 率已被证明没有封闭形式计算公式，也不能被一 浓厚兴趣0-，这里探讨的环境反馈是在随机博 个多项式时间算法所求解69下面，将分别阐述两 弈的研究框架下的定义的，随机博弈通常包括若 类主流的复杂网络上演化博弈理论分析方法：针 干个博弈主体、各主体的策略集合、收益矩阵及 对离散策略，计算σ-占优条件；针对连续策略，分 更新过程.收益矩阵和更新过程令部分主体改变 析适应动力学 自身策略，从而影响环境状态；环境状态的变化导 针对离散策略，弱选择情形下最一般理论结较过程中，展现出来的身心特征上的彼此各不相 同的现象，这主要是由于个体的成长过程受遗传 和环境的交互影响. 例如，主体间的能力有高低之 分，不同主体才能的形成有早有晚，且各有所长. 个体异质性在群体竞争中普遍存在，演化博弈研 究的异质个体可归为三类：其一是异质网络中，每 个主体参与博弈总次数呈现天然异质性，而这种 异质性从整体上利于合作的演化[44] . 其二是个体 间行为模式存在异质性，即个体与不同对手采取 不同策略、不同交互概率和模仿概率，这种差异性 可以在一定条件下促进两人博弈[45] 或多人博弈中 合作的演化[46] . 其三是公共品博弈的投资、产出和 分配额因人而异. 当产出的协同效应和折扣效应 以概率共存时，高概率的协同效应能够促进合作[47] ； 在分配额越大的博弈中投资越多，越有利于合作 的演化[48] ；在重复博弈中，投资的极端异质性抑制 合作，而当个体间分配额存在差异时，适当的投资 异质性反而是促进合作的必要条件[49] . 策略演化动力学与环境相互影响而形成的反 馈在生物和社会系统中普遍存在. 例如，接种疫苗 的不充分往往导致本可以预防的传染病大规模爆 发；之后，政府通过宣传疫苗接种必要性等反馈措 施改善疫苗的接种环境和群体的决策行为. 最近， 环境反馈对于合作演化的影响激发了研究人员的 浓厚兴趣[50−52] ，这里探讨的环境反馈是在随机博 弈的研究框架下的定义的，随机博弈通常包括若 干个博弈主体、各主体的策略集合、收益矩阵及 更新过程. 收益矩阵和更新过程令部分主体改变 自身策略，从而影响环境状态；环境状态的变化导 致不同的收益矩阵，环境通过收益矩阵的变化直 接反过来影响策略演化动力学. Hilbe 等将随机博 弈思想融入重复博弈，具体而言，每一轮的个体行 为及博弈共同决定下一轮的博弈[53] . 此时，环境反 馈和直接互惠可以极大促进合作的演化，远高于 只有环境反馈或直接互惠所诱导的合作水平. 类 似地，Su 等将随机博弈思想融入规则网络群体[54] ， 其中博弈转移大大放松合作演化的条件，特别地， 即使在每个备选博弈中合作无法演化，而在备选 博弈间转移却能够促进合作的演化. Weitz 等将群 体中博弈的变化由一个类似的复制动力学刻画， 发现群体在好环境、坏环境、合作、背叛间不断往 复震荡[55] . 稍后的研究表明类似的震荡环也出现 在环境反馈下的非对称两人博弈和网络群体[56−57] . 同时研究框架被推广到公共品博弈[58] ,发现资源反 馈可以有效促进合作的演化. 2    复杂网络上演化博弈的理论分析方法 σ− 自从 Nowak 和 May 开创性地研究了方格网络 群体中的囚徒困境[59] ，复杂网络上的演化博弈成 为研究网络群体中策略竞争的有效工具. 常见的网 络包括规则网络、小世界网络、无标度网络和社 团结构网络，如图 2 所示[59−60] . 目前，国内外学者 对复杂网络上的两策略竞争进行了系统的研究[61−62] ， 相关研究大多利用计算机仿真进行[63−68] . 而理论 分析是深刻理解网络群体中策略竞争的必要条 件. 在中性选择这种适应度与收益无关的特殊情 形下，策略在网络的扩散过程仅仅依赖随机漂移 （由状态更新过程本身的随机性所决定）. 相应固 定概率具有封闭形式计算公式，这里的固定概率 指的是单个变异体传播到整个群体的概率，具体 数值往往与变异体出现的位置相关. 然而，复杂网 络上一般演化博弈的理论研究较为稀少，且在弱 选择情形下进行. 弱选择意味适应度对收益依赖 程度较小，允许扰动理论的使用，从而获得解析成 果. 同时探索弱选择情形的演化博弈具有现实意 义，因为每个主体在生活中参与大量博弈，而单一 博弈对适应度的影响往往很小. 况且在强选择情 形下，即适应度依赖收益的程度较大，相应固定概 率已被证明没有封闭形式计算公式，也不能被一 个多项式时间算法所求解[69] . 下面，将分别阐述两 类主流的复杂网络上演化博弈理论分析方法：针 对离散策略，计算 占优条件；针对连续策略，分 析适应动力学. 针对离散策略，弱选择情形下最一般理论结 (a) (b) (c) (e) (d) 图 1    五大促进合作涌现的机制[34] . （a）亲缘选择；（b）直接互惠；（c）间 接互惠；（d）群组选择；（e）网络互惠 Fig.1     Five  mechanisms  for  the  emergence  of  cooperation[34] :  (a)  kin selection;  (b)  direct  reciprocity;  (c)  indirect  reciprocity;  (d)  group selection; (e) network reciprocity · 404 · 工程科学学报，第 44 卷，第 3 期