角函数 arctan,同样可考虑作变换: arctan=t,即ⅹ=tant 【详解】设x=tant,则 arctan e tan t (+rxd l a+ tan n s sec td =Je sin dt 又「e' sin tdt=-e' d cost ecost +e sin t-e' sin tdt 故 e(sin t-cost)+C 因此 rre ctan.r dx=-e arctan r ratan x 【评注】本题也可用分布积分法: (1+x2 xe 1+x2 arctan x arctan x xe +x 移项整理得 ddx +c 本题的关键是含有反三角函数,作代换 arctan x=t或tant=x,完全类似例题见《数学 复习指南》P86【例323】以及P90习题12 六、(本题满分12分) 设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数 (1)试将x=x(y)所满足的微分方程+(y+snx)=0变换为y=(x)满足的微8 角函数 arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant. 【详解】 设 x = tan t ，则 dx x xe x  + 2 3 2 arctan (1 ) = tdt t e t t 2 2 3 2 sec (1 tan ) tan  + = e sin tdt. t  又 e tdt e d t t t sin cos   = − = (e cost e costdt) t t  − − = e t e t e tdt t t t cos sin sin  − + − ， 故 (sin cos ) . 2 1 e sin tdt e t t C t t = − +  因此 dx x xe x  + 2 3 2 arctan (1 ) = C x x x e x + + − + ) 1 1 1 ( 2 1 2 2 arctan = . 2 1 ( 1) 2 arctan C x x e x + + − 【评注】本题也可用分布积分法： dx x xe x  + 2 3 2 arctan (1 ) = x de x x arctan 2 1  + = dx x e x xe x x  + − + 2 3 2 arctan 2 arctan 1 (1 ) = x x de x x xe arctan 2 2 arctan 1 1 1  + − + = dx x x e x e x x e x x x  + − + − + 2 3 2 arctan 2 arctan 2 arctan 1 1 (1 ) ， 移项整理得 dx x xe x  + 2 3 2 arctan (1 ) = . 2 1 ( 1) 2 arctan C x x e x + + − 本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctan x = t 或 tant=x, 完全类似例题见《数学 复习指南》P.86【例 3.23】以及 P.90 习题 12. 六 、（本题满分 12 分） 设函数 y=y(x)在 (−,+) 内具有二阶导数，且 y   0, x = x( y) 是 y=y(x)的反函数. (1) 试将 x=x(y)所满足的微分方程 ( sin )( ) 0 3 2 2 + + = dy dx y x dy d x 变换为 y=y(x)满足的微