证利用分部积分法, b==f"(x)sin nxdx 2[-(xos/xm小- 由于 bn|=nbn|≤1/1 2(n+n2/=2/1 所以 32+(622小 < 8.设f(x)为(-∞,+∞)上的以2丌为周期的连续函数。证明:若f(x)的 Fourier系数全为零,则∫(x)=0 证由于f(x)的 Fourier系数全为零,利用 Parseval等式,可知 ∫f(xk=0。再由f(x)为连续函数,即可得到f(x)=0 9.设f(x)是周期为2x的任意一个连续函数,证明对于任意给定的 E>0,存在三角多项式 W,(x)=+2(A, cos kx+B, sin kx) 使得 If(x) (x) dx<a 证设f(x)的 Fourier级数为 f(x) do cos nx+ b sin nx)。⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ < +∑ ′′ ∞ = ∞ =1 1 2 | | 2 1 | | n n n n b b 。 证 利用分部积分法， ∫− ′′ = ′′ π π π b f x nxdx n ( )sin 1 1 f '(x)sin nx n f '(x) cos nxdx π π π −π −π ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ( ) cos ( )sin n f x nx n f x nxdx π π π −π −π ⎡ ⎤ = − − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ 2 n = −n b ， 由于 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ′′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ≤ + | | 1 2 1 | | 1 2 1 | | 1 | | 2 2 2 2 n n n bn n n b n n b n b （n = 1,2,"）， 所以 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ < + ′′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ = + ′′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ≤ ∑ +∑ ′′ ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = 1 1 2 1 1 2 1 2 | | 2 1 | | 2 6 1 | | 1 2 1 | | n n n n n n n n n b b b n b π 。 8．设 f (x) 为(−∞,+∞) 上的以 2π 为周期的连续函数。证明：若 的 Fourier 系数全为零，则 f (x) f (x) ≡ 0。 证 由于 的 Fourier 系数全为零，利用 Parseval 等式，可知 。再由 为连续函数，即可得到 f (x) ( ) 0 2 = ∫− π π f x dx f (x) f (x) ≡ 0。 9．设 f (x) 是周期为 2π 的任意一个连续函数，证明对于任意给定的 ε > 0，存在三角多项式 ψ n (x) = ∑= + + n k k k A kx B kx A 1 0 ( cos sin ) 2 ， 使得 ψ ε π π − < ∫− f x x dx n | ( ) ( )| 。 证 设 f (x)的 Fourier 级数为 ( ) 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a f x a nx b ∞ = ∼ + ∑ + nx 。 4