*§113Born近似 1.Gren函数方法和 Lippman-Schwinger方程 三维空间中的 Schrodinger方程是 V +V(r) IE U() V(F), 它又可以写为 y=Uy. 方程 V-+k 称为 Helmholtz(亥姆霍兹)方程,而方程 k)y=s() 称为非齐次的 Helmholtz方程,或带源项的 Helmholtz方程,S(r)称为源项。 解这种方程可以用 Green(格林)函数方法,那就是先解方程 2+k2)G(,)=63(r-r) 其中G(,P)称为Gren函数。注意:这里被微分的变量是,而在其中是参量。把G(7,P)求出来 以后,它就(借助于积分)给出了原方程的一个特解: ()=o(,r)S( 所以原方程的一般解是: ()=%6()+∫G(,r)S()dr, 其中v(F)是齐次 Helmholtz方程的一般解 那么Gren函数G(r,r)是什么样的函数呢?不难证明:对于 Helmholtz方程, 4丌 事实上,我们只要验证 4丌 满足 )G()=62() 就够了。在r≠0时,直接的微分就可证明G()满足 (v2+k2)G(r)=0.(r≠0) 计算如下: kre 然后需要再验证一下 ∫(V2+k2)G()d=1 其中E代表一个以O点为球心,半径E→>0的球体的内部。计算中需要利用 Gauss定理:*§11.3 Born 近似 1．Green 函数方法和 Lippman-Schwinger 方程 三维空间中的 Schrödinger 方程是 2 2 ( ) . 2 V r E        −  + =   记 2 2 2 2 , ( ) ( ), E k U r V r   = = 它又可以写为 ( ) 2 2  + = k U  . 方程 ( ) 2 2 0  + = k  0 称为 Helmholtz（亥姆霍兹）方程，而方程 ( ) 2 2  + = k S r  ( ) 称为非齐次的 Helmholtz 方程，或带源项的 Helmholtz 方程， S r( ) 称为源项。 解这种方程可以用 Green（格林）函数方法，那就是先解方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 3  + = − k G r r r r , ,    其中 G r r ( , ) 称为 Green 函数。注意：这里被微分的变量是 r ，而 r 在其中是参量。把 G r r ( , ) 求出来 以后，它就（借助于积分）给出了原方程的一个特解： ( ) ( ) ( ) 3  r G r r S r d r = , ,     所以原方程的一般解是： ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0   r r G r r S r d r = + , ,     其中 0  ( )r 是齐次 Helmholtz 方程的一般解。 那么 Green 函数 G r r ( , ) 是什么样的函数呢？不难证明：对于 Helmholtz 方程， ( ) i 1 e , . 4 k r r G r r  r r −   = − −  事实上，我们只要验证 ( ) ( ) i 1 e 4 k r G r r r  r = − = 满足 ( ) ( ) 2 2 3  + = k G r r  ( ) 就够了。在 r  0 时，直接的微分就可证明 G r( ) 满足 ( ) ( ) ( ) 2 2  + =  k G r r 0. 0 计算如下： ( ) ( ) i i 2 2 i i 2 2 i i 2 i i 2 2 e 1 e 1 i e e 1 e i e e i e . k r k r k r k r k r k r k r k r r kr r r r r r r r k k r k k r r           = = −                = − − = − 然后需要再验证一下 ( ) ( ) 2 2 3 k G r d r 1,   + =  其中  代表一个以 O 点为球心，半径  → 0 的球体的内部。计算中需要利用 Gauss 定理：