附录1矩阵基础知识 1矩阵的概念:矩阵就是矩形的数表。例如: 0、0 代表由pq个数字排成的数表,我们称它为p行q列矩阵。矩阵用大写黑体字母表示。其下 标表示它所包含的行列数,也可省略不写。用小写字母表示矩阵中的各个数字,如a表示 A矩阵中第i行第j列的那一个数字,称为矩阵的元素。有时也可用(a)表示矩阵A。 向量是只有一行或一列的矩阵。当p=1时,矩阵只有一行,称为行向量;当q=1时,矩 阵只有一列,称为列向量。 矩阵的基本运算 (1)相等:两个矩阵A,B,若它们有所有元素对应相等,即对任意i,j,均有a=bj,则 称A与B相等,记为A=B。显然A与B相等的前提条件是它们有相同的行数和列数 (2)加法:两个矩阵A,B,则A+B=C为一个新的矩阵,其元素为A和B的对应元素 相加的和。即:若A=(a),B=(b),则C=(c)=(a+b)。显然加法也要求A,B矩阵有相 同的行列数 (3)乘法:两个矩阵Ap和Bq则A·B=Cp为一个新矩阵,其第i行第j列的元素c为 A的第i行元素与B的第列元素的乘积和,即:c1 b。显然矩阵乘法要求第 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。 -33-21-16 例1 13-5229 521 如上面例题中结果的第一行第一列元素-33=3×1+2×2+(-8)×5,第二行第一列元素 13=(-4)×1+6×2+1×5,等等 注意:一般来说,矩阵乘法不满足交换律即AB≠BA。象上面的例子,BA根本就不能 相乘,因为B有三列,而且A只有两行,不满足矩阵乘法的条件。再例如A1n为n阶行向 量,Bn为n阶列向量,则AB为一个数字,而BA为一个n×n阶的矩阵 (4)转置:把矩阵A以它的主对角线(从左上到右下)为轴旋转180°,它的行变成列, 列变成行,称为转置。记为A′。即 12 若A=A,则称A为对称矩阵。 (5)矩阵的行列式:若矩阵A为方阵,则我们可按某种规则从矩阵A计算出一个数作为它 的值,这个值称为矩阵的行列式,记为A。对于二阶方阵,它的行列式定义为主对角线乘附录 1 矩阵基础知识 1.矩阵的概念：矩阵就是矩形的数表。例如： Apq               = p p pq q q a a a a a a a a a     1 2 21 22 2 11 12 1 代表由 p∙q 个数字排成的数表，我们称它为 p 行 q 列矩阵。矩阵用大写黑体字母表示。其下 标表示它所包含的行列数，也可省略不写。用小写字母表示矩阵中的各个数字，如 aij 表示 A 矩阵中第 i 行第 j 列的那一个数字，称为矩阵的元素。有时也可用（aij）表示矩阵 A。 向量是只有一行或一列的矩阵。当 p = 1 时，矩阵只有一行，称为行向量；当 q = 1 时，矩 阵只有一列，称为列向量。 2. 矩阵的基本运算 （1）相等：两个矩阵 A，B，若它们有所有元素对应相等，即对任意 i，j，均有 aij = bij，则 称 A 与 B 相等，记为 A = B。显然 A 与 B 相等的前提条件是它们有相同的行数和列数。 （2）加法：两个矩阵 A，B，则 A + B = C 为一个新的矩阵，其元素为 A 和 B 的对应元素 相加的和。即：若 A = (aij), B = (bij), 则 C = (cij) = (aij+bij)。显然加法也要求 A，B 矩阵有相 同的行列数。 （3）乘法：两个矩阵 Apq 和 Bqr, 则 A·B = Cpr为一个新矩阵，其第 i 行第 j 列的元素 cij 为 A 的第 i 行元素与 B 的第列元素的乘积和，即： = =  q k 1 ij ik bkj c a 。显然矩阵乘法要求第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。 例 1       − − 4 6 1 3 2 8       − − − − =           − − 13 52 29 33 21 16 5 2 1 2 7 2 1 3 4 如上面例题中结果的第一行第一列元素–33 = 3×1 + 2×2 + (–8)×5，第二行第一列元素 13 = (-4)×1 + 6×2 + 1×5，等等。 注意：一般来说，矩阵乘法不满足交换律即 AB≠BA。象上面的例子，BA 根本就不能 相乘，因为 B 有三列，而且 A 只有两行，不满足矩阵乘法的条件。再例如 A1n 为 n 阶行向 量，Bn1 为 n 阶列向量，则 AB 为一个数字，而 BA 为一个 n×n 阶的矩阵。 （4）转置：把矩阵 A 以它的主对角线（从左上到右下）为轴旋转 180°，它的行变成列， 列变成行，称为转置。记为 A。即： pq p p qp q q qp q q qp p p a a a a a a a a a a a a a a a a a a               =                       1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 若 A = A，则称 A 为对称矩阵。 （5）矩阵的行列式：若矩阵 A 为方阵，则我们可按某种规则从矩阵 A 计算出一个数作为它 的值，这个值称为矩阵的行列式，记为 A 。对于二阶方阵，它的行列式定义为主对角线乘