§3闭区间上连续函数性质的证明(4时) 一.有界性: 命题1 f(x)∈C[a,b] 在[a,b]上f(x)=O(1) 证法 (用区间套定理).反证法 证法二(用列紧性).反证法 证法三(用有限复盖定理) 二.最值性 命题2(x)∈[a,b], f(x)在[a,b]上取得最大值和最小 值 (只证取得最大值) 证 (用确界原理)参阅[1]P226[证法二]后半段 介值性:证明与其等价的“零点定理 命题3(零点定理 证法 (用区间套定理 证法二 (用确界原理).不妨设J(a)>0,f(b)<0 令B=(xJ(x)>0,x∈[a,b]),则郾非空有界,→E有上确界设 5=8pE有5∈[a,b].现证 ∫(5)=0,(为此证明f(5)≥0且f()≤0).取x>且x e,(n→00) 由(x)在点连续和f(x)≤0 Jf()=imf(x2)≤0 →5≠E.于是3∈E,32→5(n→0).由f(x)在点5连续和 f(2)>0 f()=limf(x)≥0 因此只能有f()=0 (用有限复盖定理) 四.一致连续性 命题4( Cantor定理 (用区间套定理)§3 闭区间上连续函数性质的证明 ( 4 时 ) 一. 有界性: 命题 1 , 在 上 . 证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 二. 最值性: 命题 2 , 在 上取得最大值和最小 值. ( 只证取得最大值 ) 证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ] 后半段. 三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题 3 ( 零点定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 . 令 , 则 非空有界, 有上确界. 设 有 . 现证 , ( 为此证明 且 ). 取 > 且 . 由 在点 连续和 , , . 于是 . 由 在点 连续和 , . 因此只能有 . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 四. 一致连续性: 命题 4 ( Cantor 定理 ) 证法 一 ( 用区间套定理 )