第四章哈密顿力学(中) 4.4.正则变换 引言 【例1】广义坐标间的坐标变换对正则方程的影响 义坐标的变换q→Q=f(q1),其逆变换为qn=2(Q,), 广义速度同时相应变换。-2a,,一,出而保持 agrange方程和 Lagrange力学的理论体系不变(具体形式当然有变化) 14)=(q(21)4(2②))=(2Q d a aL 0→ dt dq dt a0. a0 0(a,B=12…,s)(见3.5.) 如果在新的和老的两组广义坐标(由广义坐标间的坐标变换联系)下,分别引入广义动量 进行 Legendre变换,这样得到的广义动量和 Hamilton量一般说也互不相同。然而得到的运 动微分方程当然仍然各自为正则方程(虽然具体形式有所不同) OL ah aH pa Paq qa P 句→9(pq) aL PB B=∑PQ m-0.a 这就是说,坐标变换Q=f(q,)和相应的广义动量间的变换 Pm%e=aD.把正则方程变换为新的正则方程,新的哈密顿量为 H=∑PQ-L=∑p Q-L=∑P2 aqe-L=H-2Pa at 利用上述变换的显式可以直接检验上述结论的正确性: 已=∑p+∑P ∑p2+∑ 0.00 aH aH aQa a0 Ba@a at B at ah dq H BagB 0@a p apB 7/%、qn1-Paa q1 第四章 哈密顿力学 （中） 4．4．正则变换 1．引言： 【例 1】广义坐标间的坐标变换对正则方程的影响。 广义坐标的变换 q  Q f q t   = ( , ) ，其逆变换为 q Q t   =  ( , ) ， 广义速度同时作相应变换： , f f Q q q Q q t Q t                 = + = +       而保持 Lagrange 方程和 Lagrange 力学的理论体系不变（具体形式当然有变化）： L q q t L q Q t q Q Q t t L Q Q t ( , , , , , , , , , ) = = (   ( ) ( ) ) ( ) 0 0 d L L d L L dt q q dt Q Q         − =  − =     ( , 1,2, , = s) （见 3．5．） 如果在新的和老的两组广义坐标(由广义坐标间的坐标变换联系)下，分别引入广义动量， 进行 Legendre 变换，这样得到的广义动量和 Hamilton 量一般说也互不相同。然而得到的运 动微分方程当然仍然各自为正则方程(虽然具体形式有所不同)： ( , , ) , , , q q p q t L H H p H p q L q p q p q          →      = = − = = −         ( , , ) , , , Q Q P Q t L H H P H P Q L Q P Q P Q        →        = = − = = −         这就是说，坐标变换 Q f q t   = ( , ) 和相应的广义动量间的变换 L L q q P p Q Q q Q               = = =       把正则方程变换为新的正则方程，新的哈密顿量为 , q q q H P Q L p Q L p q L H p Q t t                      = − = − = − − = −            利用上述变换的显式可以直接检验上述结论的正确性： 2 2 q q q q q d P p p p p Q Q dt Q Q Q Q Q t                              = + = + +                   2 H H p q q p Q Q Q t Q t                = − −         ( ) H H q p q q Q p Q              = + −       p q q Q t          + −        2 q p Q t      −   