习题二 1.设μ是环R上的有限可加测度,即是R上的非负值集函数满足()=0 和有限可加性.证明若满足次可数可加性,则是分上的测度 2.设A是X的一个非空真子集试在a一代数={,X,A,A}上定义一个不 恒为零的有限测度 3.设X是一不可数集.令 丌={A:A或A是至多可数集 则是一个σ-代数(见第一章习题第21题).在犴定义集函数μ如下:若A是至多可数 集,则令H(A)=0.若A是至多可数集,则令山(A)=1.证明4是分上的测度 4.在B(R)上定义集函数如下:p(A)等于A中的有理数的个数(若A有无穷 多个有理数,则令(4)=+0)证明是(R,(R)上的σ一有限测度 5.设{n}是a-代数上的一列测度并且{n}是单调增加的,即 n(A)≤pn+1(A),A∈.令 (A)=1imPn(A),A∈ 证明p是上的测度 6.设(X,,)为测度空间.证明 (1)对任意A,B∈,成立 (A∪B)+山(A∩B)=(A)+p(B) (2).若山(X)<+∞,则对任意A,B,C∈丌,成立 (A∪B∪C)=(A)+p(B)+(C) (A∩B)-p(A∩C) H(B∩C)+(A∩B∩C) 7.设H是-代数上的测度,A,B∈犴并且测度有限.证明 (4)-(B)≤H(AAB) 8.设(X,,)为测度空间,{An}是一列可测集.证明 (1) u(lim An)slim u(An) (2)若∪A<+∞,则(imA)2imp(A) (3)若∑(A1)<+∞,则(imA)=0 9.设'是X上的外测度,A∈X,4'(A)=0.证明对任意BcX,有 (B∪A)=4'(B-A)='(B)69 习 题 二 1. 设 µ 是环R 上的有限可加测度, 即 µ 是R 上的非负值集函数满足 µ(∅) = 0 和有限可加性. 证明若 µ 满足次可数可加性, 则 µ 是F 上的测度. 2. 设 A 是 X 的一个非空真子集. 试在σ − 代数F { , , , } c = ∅ X A A 上定义一个不 恒为零的有限测度. 3. 设 X 是一不可数集. 令 F = {A : A 或 c A 是至多可数集} 则F 是一个σ -代数(见第一章习题第 21 题). 在F 定义集函数 µ 如下: 若 A 是至多可数 集, 则令 µ(A) = 0. 若 c A 是至多可数集, 则令 µ(A) = 1. 证明 µ 是F 上的测度. 4. 在 ( ) 1 B R 上定义集函数 µ 如下: µ(A) 等于 A 中的有理数的个数(若 A 有无穷 多个有理数, 则令 µ(A) = +∞ ). 证明 µ 是( , ( )) 1 1 R B R 上的σ − 有限测度. 5. 设{ } µ n 是σ -代数F 上的一列测度并且{ } µ n 是单调增加的, 即 µ n (A) ≤ µ n+1 (A), A∈ F . 令 = ∈ →∞ A n A A n µ( ) lim µ ( ), F . 证明 µ 是F 上的测度. 6. 设(X , F ,µ) 为测度空间. 证明: (1).对任意 A, , B ∈ F 成立 µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B). (2).若 µ(X ) < +∞, 则对任意 A, , B,C ∈ F 成立 ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C A B C A B A C A B C A B C − ∩ + ∩ ∩ − ∩ − ∩ ∪ ∪ = + + µ µ µ µ µ µ µ µ 7. 设 µ 是σ -代数F 上的测度, A, B ∈ F 并且测度有限. 证明 µ(A) − µ(B) ≤ µ(A∆B). 8. 设(X , F ,µ) 为测度空间, { } An 是一列可测集. 证明: (1). (lim ) lim ( ). n n n n µ A µ A →∞ →∞ ≤ (2).若 , 1   < +∞       ∞ = U n µ An 则 (lim ) lim ( ). n n n n µ A µ A →∞ →∞ ≥ (3).若 ( ) , 1 ∑ < +∞ ∞ n= µ An 则 (lim ) = 0. →∞ n n µ A 9. 设 ∗ µ 是 X 上的外测度, A ⊂ X , ( ) = 0. ∗ µ A 证明对任意 B ⊂ X , 有 (B A) (B A) (B). ∗ ∗ ∗ µ ∪ = µ − = µ