4.证明级数 2n+3 的和函数在z=1点不连续 5.证明 2 2|<1, 并由此导出 rsin 8-n2 SIn 20 36 1+rcos e 其中-1<r<1 6.求下列级数之和 (1)cosB+ cos 20 cos 39,cos 40 0<6<2丌, 0<6<2丌; 4 cos 36 cOs 50 cos 70 (2)cos 8 0<6 sin 6+ ≤6≤ 30 sin 56 76 <6< 3 提示:利用上题结果以及Abel第二定理 7.试求下列幂级数的收敛半径 (2) 第五章 Taylor展开和 Laurent展开 1.将下列函数在指定点展开为 Taylor级数,并给出其收敛半径:Wu Chong-shi 6 ￾ ➺ ✂ 4. ❋●➩✏ X∞ n=0 h z n+1 n + 1 − 2z 2n+3 2n + 3 i ✑✗✣✏❃ z = 1 ✴➻➼➽P 5. ❋●✚ ln(1 − z) = −z − z 2 2 − z 3 3 − z 4 4 − · · · , |z| < 1, ❇↕➾ ❆☞ r cos θ − r 2 cos 2θ 2 + r 3 cos 3θ 3 − + · · · = 1 2 ln ￾ 1 + 2r cos θ + r 2
, r sin θ − r 2 sin 2θ 2 + r 3 sin 3θ 3 − + · · · = arctan r sin θ 1 + r cos θ , ❈④ −1 < r < 1 P 6. ✱✌✍➩✏➚✗✚ (1) cos θ + cos 2θ 2 + cos 3θ 3 + cos 4θ 4 + · · ·, 0 < θ < 2π, sin θ + sin 2θ 2 + sin 3θ 3 + sin 4θ 4 + · · ·, 0 < θ < 2π; (2) cos θ + cos 3θ 3 + cos 5θ 5 + cos 7θ 7 + · · ·, 0 < θ < π, sin θ + sin 3θ 3 + sin 5θ 5 + sin 7θ 7 + · · ·, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 ; (3) sin θ − sin 3θ 3 2 + sin 5θ 5 2 − sin 7θ 7 2 + − · · ·, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 ; (4) cos θ − cos 5θ 5 + cos 7θ 7 − cos 11θ 11 + − · · ·, − π 3 < θ < π 3 . ➪➶✚➹➘➴➷➬➮➱✃ Abel ❐❒❮❰P 7. ❯✱✌✍Ï➩✏✑➫➭➝➐✚ (1) X∞ n=1 1 nn z n ; (2) X∞ n=1 1 2 nnn z n ; (3) X∞ n=1 n! nn z n ; (4) X∞ n=1 (−) n 2 2n(n!)2 z n ; (5) X∞ n=1 n ln n z n ; (6) X∞ n=1 1 2 2n z 2n ; (7) X∞ n=1 ln n n n! z n ; (8) X∞ n=1  1 − 1 n n z n . ✄Ð✆ Taylor ÑÒ✟ Laurent ÑÒ 1. Ó✌✍✣✏❃✉✈✴ÔÕ✛ Taylor ➩✏✷❇➎☞❈➫➭➝➐✚