三章理性消费者 二、消费者均衡的实现 在既定的价格和收入约束下,当消费者实现了效用最大化时,我们就说消费者实现了均 衡。所以,均衡时的选择就是消费者的需求。这样,需求向量也可叫做消费者的均衡向量或 均衡方案。到目前为止,我们的讨论实际上是关于均衡性质的讨论,比如解决了均衡的存在 性和唯一性问题,还讨论了均衡的其他性质。但对于消费者如何实现均衡的问题,我们没有 涉及。现在就来研究这个问题,即讨论如何实现效用最大化 为了分析和论述上的方便,从现在开始,我们假定:假设HC、假设HP和假设HU都成立, 并且均衡在消费集合内部实现。使用效用函数来研究均衡的实现问题,比不使用效用函数要 方便得多。而要使用效用函数,这些假设一般是必需的。利用效用函数,效用最大化问题可 表述为: max u(x) px≤r 其中u为消费者的效用函数,p为价格向量,r为消费者的收入。 (一)实现均衡的必要条件 设(p,)∈△,x*=5(P,r)∈itX。即假定x*是消费者在价格体系p与收入r之下的均 衡向量,并且位于消费集合X的内部。需求的瓦尔拉法则保证了px*=r,即效用最大的点只 能在预算线上。本来,效用最大化问题是要在整个预算集合中寻求效用最大的消费方案。现 在,它就可变成只在预算线上寻找效用最大的消费方案。这也就是说,消费者均衡向量x*是 效用函数u(x)在约東条件px=r下的极大值点。根据拉格朗日乘数法,存在实数λ,使得拉 格朗日函数L(x,)=(x)+(r-px)在(x*,4)处的各个一阶偏导数全为零,即 l(x*) du(x) o+=1(=12,…,O px"=px+ p2x2+.+ px=r 称这个方程为边际方程或边际等式,其中的A叫做拉格朗日乘数。 注意,假设Ⅲ保证了效用梯度V(x*)≠0,从而λ≠0(如果u是单调的,则还有>0) 于是,边际方程等价于 (x*)ul2(x°) PI p2 pe px=p,x,+ p2x2+.+Pex=r 这说明:均衡时把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品(以增加消费量)所增加的效用都是 样的:拉格朗日乘数λ就是均衡时货币收入的边际效用。如果说当前消费计划下不能使上 述方程(中的第一组方程)成立,那么减少那些增加单位支出后效用增加较少的商品的消费量 把减少下来的支出用来增加那些增加单位支出后效用增加较多的商品的消费量,方可使总效 用得到增加,而且花费在商品消费上的支出并没有增加。可见经过这样的调整,不但没有增 口支出,而且使消费者更加满意。总之,只要上面的方程式不成立,那么消费者就要在效用 最大化动机的驱动下进行这种调整,直到该方程式成立为止,此时即实现均衡。这就是消费 者均衡的意义。第三章 理性消费者 48 二、消费者均衡的实现 在既定的价格和收入约束下，当消费者实现了效用最大化时，我们就说消费者实现了均 衡。所以，均衡时的选择就是消费者的需求。这样，需求向量也可叫做消费者的均衡向量或 均衡方案。到目前为止，我们的讨论实际上是关于均衡性质的讨论，比如解决了均衡的存在 性和唯一性问题，还讨论了均衡的其他性质。但对于消费者如何实现均衡的问题，我们没有 涉及。现在就来研究这个问题，即讨论如何实现效用最大化。 为了分析和论述上的方便，从现在开始，我们假定：假设 HC、假设 HP 和假设 HU 都成立， 并且均衡在消费集合内部实现。使用效用函数来研究均衡的实现问题，比不使用效用函数要 方便得多。而要使用效用函数，这些假设一般是必需的。利用效用函数，效用最大化问题可 表述为：    px  r max u(x) 其中 u 为消费者的效用函数， p 为价格向量， r 为消费者的收入。 （一）实现均衡的必要条件 设 ( p,r) ， x* =( p,r)int X 。即假定 x* 是消费者在价格体系 p 与收入 r 之下的均 衡向量，并且位于消费集合 X 的内部。需求的瓦尔拉法则保证了 px* = r ，即效用最大的点只 能在预算线上。本来，效用最大化问题是要在整个预算集合中寻求效用最大的消费方案。现 在，它就可变成只在预算线上寻找效用最大的消费方案。这也就是说，消费者均衡向量 x* 是 效用函数 u(x) 在约束条件 px = r 下的极大值点。根据拉格朗日乘数法，存在实数  ，使得拉 格朗日函数 L(x,) = u(x) +  (r − px) 在 (x*,) 处的各个一阶偏导数全为零，即      = + + + = = =    =  = p x p x p x p x r p i x u x u u x i i i i * * 2 2 * * 1 1 ( 1,2, , ) ( *) ( *)       称这个方程为边际方程或边际等式，其中的  叫做拉格朗日乘数。 注意，假设 HU 保证了效用梯度 u(x*)  0 ，从而   0 (如果 u 是单调的，则还有   0 )。 于是，边际方程等价于      = + + + = =  = =  =  px p x p x p x r p u x p u x p u x * * 2 2 * 1 1 2 2 1 1 * ( *) ( *) ( *)        这说明：均衡时把一单位货币收入不论用于购买哪一种商品(以增加消费量)所增加的效用都是 一样的；拉格朗日乘数  就是均衡时货币收入的边际效用。如果说当前消费计划下不能使上 述方程(中的第一组方程)成立，那么减少那些增加单位支出后效用增加较少的商品的消费量， 把减少下来的支出用来增加那些增加单位支出后效用增加较多的商品的消费量，方可使总效 用得到增加，而且花费在商品消费上的支出并没有增加。可见经过这样的调整，不但没有增 加支出，而且使消费者更加满意。总之，只要上面的方程式不成立，那么消费者就要在效用 最大化动机的驱动下进行这种调整，直到该方程式成立为止，此时即实现均衡。这就是消费 者均衡的意义