初等数学方法建模 学生都换到他的邻座上去,问是否有这种调换位置的方案? 1.3自然数的因子个数与狱吏问题 令d(m)为自然数n的因子个数,则d(n)有的为奇数,有的为偶数,见下表 9 d(n) 6244 我们发现这样一个规律,当且仅当n为完全平方数时,d(n)为奇数;这是因为n的因子是成对出现的 也即n=ab;只有n为完全平方数,才会出现n=a2的情形,d(n)才为奇数 下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题 狱吏问题:某王国对囚犯进行大赦,让一狱吏n次通过一排锁着的n间牢房,每通过一次按所定规则 转动门锁,每转动一次,原来锁着的被打开,原来打开的被锁上:通过n次后,门锁开着的,牢房中的犯人 放出,否则犯人不得获释。转动门锁的规则是这样的,第一次通过牢房,要转动每一把门锁,即把全部锁 打开;第二次通过牢房时,从第二间开始转动,每隔一间转动一次:第k次通过牢房,从第k间开始转动 每隔k-1间转动一次:问通过n次后,那些牢房的锁仍然是打开的? 问题分析:牢房的锁最后是打开的,则该牢房的锁要被转动奇数次;如果把n间牢房用1,2,…,n编号, 则第k间牢房被转动的次数,取决于k是否为1.2.…,n整除,也即k的因子个数,利用自然数因子个数定 理,我们得到结论:只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的。 1.4相识问题 问题:在6人的集会上,总会有3人互相认识或互相不认识。 分析:设6人为A1,A2…,A;下面分二种情形,1A1至多只和两个人相识,不妨设A1不认识A2,A3,A4 若A2,A34互相都认识,则结论成立,若A2,A3,4中有两人不认识,则加上A,有三人互不相识2.A1 至少和三人相识,不妨设A1认识A2,A3,A4;若A2,A3,A4互不相识结论成立,若A2,A3,A有两人相识, 加上A1则有三人互相认识。这样,我们就证明了结论成立这个问题的讨论,我们也可以采用几何模似的 方法,如图1-4 图1-4 在平面上画出六个点,表示6个人,两点间存在连线,表示两人相识;只需说明,图中必有三点组成 三角形(有三人相识),或有三点之间设有一条连线(三人互不相识)即可,初等数学方法建模 3 学生都换到他的邻座上去，问是否有这种调换位置的方案？ 1.3 自然数的因子个数与狱吏问题 令 d (n) 为自然数 n 的因子个数，则 d (n) 有的为奇数，有的为偶数，见下表: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 d(n) 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 2 6 2 4 4 5 我们发现这样一个规律，当且仅当 n 为完全平方数时, d (n) 为奇数；这是因为 n 的因子是成对出现的, 也即 n = ab ; 只有 n 为完全平方数, 才会出现 2 n = a 的情形， d (n) 才为奇数。 下面我们利用上述结论研究一个有趣的问题. 狱吏问题：某王国对囚犯进行大赦，让一狱吏 n 次通过一排锁着的 n 间牢房，每通过一次按所定规则 转动门锁, 每转动一次, 原来锁着的被打开, 原来打开的被锁上；通过 n 次后，门锁开着的，牢房中的犯人 放出，否则犯人不得获释。转动门锁的规则是这样的，第一次通过牢房，要转动每一把门锁，即把全部锁 打开；第二次通过牢房时，从第二间开始转动，每隔一间转动一次；第 k 次通过牢房，从第 k 间开始转动， 每隔 k-1 间转动一次；问通过 n 次后，那些牢房的锁仍然是打开的？ 问题分析： 牢房的锁最后是打开的，则该牢房的锁要被转动奇数次；如果把 n 间牢房用 1,2,  ,n 编号， 则第 k 间牢房被转动的次数，取决于 k 是否为 1,2,  ,n 整除，也即 k 的因子个数，利用自然数因子个数定 理，我们得到结论：只有编号为完全平方数的牢房门仍是开着的。 1．4 相识问题 问题：在 6 人的集会上，总会有 3 人互相认识或互相不认识。 分析：设 6 人为 1 2 6 A , A ,  , A ;下面分二种情形，1. A1 至多只和两个人相识，不妨设 A1 不认识 2 3 4 A , A , A ； 若 2 3 4 A , A , A 互相都认识，则结论成立，若 2 3 4 A , A , A 中有两人不认识，则加上 A1 ，有三人互不相识. 2．A1 至少和三人相识，不妨设 A1 认识 2 3 4 A , A , A ；若 2 3 4 A , A , A 互不相识结论成立，若 2 3 4 A , A , A 有两人相识， 加上 A1 则有三人互相认识 。这样，我们就证明了结论成立,这个问题的讨论，我们也可以采用几何模似的 方法，如图 1—4 在平面上画出六个点，表示 6 个人，两点间存在连线，表示两人相识；只需说明，图中必有三点组成 三角形（有三人相识），或有三点之间设有一条连线（三人互不相识）即可， 图 1-4