vE>0.36>0,7,当(7)<8有∑f(5x1-/kE 即I-E≤∑fx 由性质2,得到/-E≤(7)≤S(T)≤1+E,或S(7)-(7)≤2E 充分性(略) 定义振幅On 定理1(可积准则)在ab上可积当且仅当m∑OAx,=0 (T)→0 三、三类可积函数 定理2闭区间上的连续函数可积。 定理3fx)在[ab上单调,则fx)在[ab上可积 证明:不妨设fx)在a,b]上单调增加,对ab的任意分法T,函数/x在小区间[x-1,x]上 的下确界m与上确界M分别是 mk=f(xk), M=f(g) ∑oAx=∑ ∑(xk)-f(x-)Axk vE>0,取δ=E,对ab]的任意分法T,当l(T)<d时,即Axk<,k=1,2,n时,有 ∑o2Ax4=∑Uf(xk)-f(x-)Ax <6∑Uf(x)-f(x1)=(x)-f(x0)+f(x2)-f(x1)+…+f(x)-f(x1 ST(,)-f(ro)]=Elf(b)-f(a) 根据可积准则的充分性,单调函数f(x)在[ab]上可积 Th4.f(x)在闭区间[ab]上有界,且存在有限个不连续点,则f(x)在[a,b]上可积 证明:不妨设c∈[an,b]是一个不连续点,其余都为连续点.w=Mm,Mm分别为f(x) 在[ab]上的最大最小值.去掉小区间(c-E,c+E)后,f(x)在[a,c-E][c+E,b]上连 续,从而一致连续        −    +        −    = = I f x I T l T f x I i n i i i n i i 1 1 ( ) 0, 0, , ( ) , | ( ) | 即 当 有 由性质 2，得到 I −   s(T)  S(T)  I +  ，或 S(T) − s(T)  2 充分性（略） 定义 振幅 n = Mn − mn 定理 1’ （可积准则）f(x) 在[a, b]上可积当且仅当 lim 0 1 ( ) 0  = = → n i i i l T  x 三、三类可积函数 定理 2 闭区间上的连续函数可积。 定理 3 f(x)在[a, b]上单调，则 f(x)在[a, b]上可积。 证明：不妨设 f(x)在[a, b]上单调增加，对[a, b]的任意分法 T，函数 f(x)在小区间 [ , ] k 1 k x x − 上 的下确界 mk与上确界 Mk分别是 ( ), ( ) k k 1 k k m = f x M = f x − 则   = − = =  = −  = −  n k k k k n k k k k n k k k x M m x f x f x x 1 1 1 1  ( ) [ ( ) ( )]   0,取 =  ，对[a, b]的任意分法 T，当 l(T)   时，即 xk   , k =1,2,,n 时，有 [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( )] 0 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 f x f x f b f a f x f x f x f x f x f x f x f x x f x f x x n n k k k k k n k k k k n k k k = − = −  − = − + − + + −  = −     = − − = − =       根据可积准则的充分性，单调 函数 f(x)在［a,b］上可积． Th4. f(x)在闭区间［a,b］上有界，且存在有限个不连续点，则 f(x)在［a,b］上可积． 证明：不妨设 c[a,b] 是一个不连续点，其余都为连续点．w=M-m, M,m 分别为 f(x) 在［a,b］上的最大最小值．去掉小区间 (c − , c +  ) 后，f(x)在 [a, c −  ] [c + ,b] 上连 续 ， 从 而 一 致 连 续 ．  1  1 1  1 x  − x   ， x  x   1 1 , [a, c −  ] 时