D0I:10.13374/i.issnl00It03.2007.12.045 第29卷第12期 北京科技大学学报 Vol.29 No.12 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.2007 一类线性不确定切换系统的鲁棒镇定 顾则全)刘贺平)李晓理)廖福成) 1)北京科技大学信息工程学院，北京1000832)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要考虑一类标称系统存在统一Lyapunov函数的线性不确定切换系统的鲁棒镇定问题，在不确定项满足一定限定条件 下，利用完备性条件和统一Lyapunov函数方法，设计出鲁棒状态反馈控制器，使闭环系统仍然具有统一Lyapunov函数，从而 在任意的切换策略下，确保闭环系统在其平衡点处是渐近稳定的·仿真结果表明所设计的控制器是有效的· 关键词切换系统；完备性：Lyapunov函数：状态反馈：鲁棒镇定 分类号TP273+.3 线性切换系统是一类重要的混杂系统，一般包 x=[A:十△A:]x+B:u (1) 括一族线性定常系统和一个描述在它们之间如何切 其中i∈M={1,2,,m表示系统(1)的m个切 换的切换规则，它也可看作是由几个微分方程及作 换子系统，x∈R和u∈R'分别为系统的状态和控 用在其中的切换规则构成，目前切换系统的设计分 制输入，A:和B:分别是第i个子系统的状态矩阵和 析主要集中在系统的稳定性、优化设计、鲁棒性三类 输入增益矩阵，△A:为系统矩阵A:的摄动.系统 问题的单独研究和综合研究上]， (1)的标称系统为： 切换系统不同于以往的连续时间系统或离散时 x=Ax十B:u,=1,2,…,m (2) 间系统，它具有一些特殊的性质，所以切换策略的选 假设1对于系统(2)的每个子系统存在统一 取非常重要，文献[4]给出了统一Lyapunov函数的 Lyapunov函数，即下列Ricatti不等式 存在条件和切换策略的选取方式，对于线性切换系 (A:+aI)P+P(A:+a)PB:BIP<0, 统，统一Lyapunov函数的存在性与任意切换策略下 =1,2,…,m (3) 系统的稳定性几乎是等价的，文献[58]利用LMI 有正定对称解矩阵P.其中，：和B是大于0的任 方法给出了一类离散切换系统的鲁棒稳定性的判定 意常数，1为单位矩阵 条件，文献[9]通过控制器切换提出了鲁棒输出反馈 稳定性的判定条件，文献[10一11]对线性切换系统 假设2同对于切换系统(1)中的不确定项 △A:可分解如下形式： 的二次稳定性进行了分析， 与以往的结果相比，本文从完备性概念出发，考 △A:=DF(t)E (4) 虑了不确定性满足可加性的一类线性切换系统的鲁 其中，D:和E:分别是具有适当维数的常值矩阵，且 棒状态反馈镇定问题，其标称系统存在统一 F:(t)满足条件： Lyapunov函数，在不确定项满足一定假设条件下， F(t)F:(t)≤I (5) 设计出鲁棒状态反馈控制器，使闭环系统在任意切 2 换策略下，确保是渐近稳定的，最后通过仿真验证 主要结果 了本文结果的正确及有效性· 为给出主要结果，需要完备性概念 1 问题的描述 定义12]如果对任意x0∈R”,都存在i∈ 11,2,,m},使得x0Zxo≤0，则称对称矩阵集合 考虑如下线性不确定切换系统 Z1,Z2,,Zm是完备的，如果对任意xo∈R/ 收稿日期：2006-09-04修回日期：2007-03-15 0},都存在i∈{1,2，…，m,使得x0Zxo<0,则对 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。,60374032):北京市教 称矩阵集合Z1,Z2,…,Zm}称为严格完备的 委重点学科共建项目：北京科技大学22高层次引进人才基金资助 项目 引理1】对任意适当维数矩阵X、Y和常数 作者简介：顾则全(1981一)男博士研究生：刘贺平(1951一)，男， e>0,有下式成立： 教授，博士生导师 xTy+yTX≤εxX+81yrY. (6)一类线性不确定切换系统的鲁棒镇定 顾则全1） 刘贺平1） 李晓理1） 廖福成2） 1） 北京科技大学信息工程学院‚北京100083 2） 北京科技大学应用科学学院‚北京100083 摘 要 考虑一类标称系统存在统一 Lyapunov 函数的线性不确定切换系统的鲁棒镇定问题‚在不确定项满足一定限定条件 下‚利用完备性条件和统一 Lyapunov 函数方法‚设计出鲁棒状态反馈控制器‚使闭环系统仍然具有统一 Lyapunov 函数‚从而 在任意的切换策略下‚确保闭环系统在其平衡点处是渐近稳定的．仿真结果表明所设计的控制器是有效的． 关键词 切换系统；完备性；Lyapunov 函数；状态反馈；鲁棒镇定 分类号 TP273＋∙3 收稿日期：2006-09-04 修回日期：2007-03-15 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．60374032）；北京市教 委重点学科共建项目；北京科技大学422高层次引进人才基金资助 项目 作者简介：顾则全（1981—）‚男‚博士研究生；刘贺平（1951—）‚男‚ 教授‚博士生导师 线性切换系统是一类重要的混杂系统‚一般包 括一族线性定常系统和一个描述在它们之间如何切 换的切换规则‚它也可看作是由几个微分方程及作 用在其中的切换规则构成．目前切换系统的设计分 析主要集中在系统的稳定性、优化设计、鲁棒性三类 问题的单独研究和综合研究上［1—3］． 切换系统不同于以往的连续时间系统或离散时 间系统‚它具有一些特殊的性质‚所以切换策略的选 取非常重要．文献［4］给出了统一 Lyapunov 函数的 存在条件和切换策略的选取方式．对于线性切换系 统‚统一 Lyapunov 函数的存在性与任意切换策略下 系统的稳定性几乎是等价的．文献［5—8］利用 LMI 方法给出了一类离散切换系统的鲁棒稳定性的判定 条件‚文献［9］通过控制器切换提出了鲁棒输出反馈 稳定性的判定条件‚文献［10—11］对线性切换系统 的二次稳定性进行了分析． 与以往的结果相比‚本文从完备性概念出发‚考 虑了不确定性满足可加性的一类线性切换系统的鲁 棒状 态 反 馈 镇 定 问 题‚其 标 称 系 统 存 在 统 一 Lyapunov函数．在不确定项满足一定假设条件下‚ 设计出鲁棒状态反馈控制器‚使闭环系统在任意切 换策略下‚确保是渐近稳定的．最后通过仿真验证 了本文结果的正确及有效性． 1 问题的描述 考虑如下线性不确定切换系统 x ·＝［ Ai＋ΔAi］ x＋Biu （1） 其中 i∈ M＝｛1‚2‚…‚m｝表示系统（1）的 m 个切 换子系统‚x∈R n 和 u∈R r 分别为系统的状态和控 制输入‚Ai 和 Bi 分别是第 i 个子系统的状态矩阵和 输入增益矩阵‚ΔAi 为系统矩阵 Ai 的摄动．系统 （1）的标称系统为： x ·＝ Aix＋Biu‚i＝1‚2‚…‚m （2） 假设1 对于系统（2）的每个子系统存在统一 Lyapunov 函数‚即下列 Ricatti 不等式 （ Ai＋αiI） T P＋P（ Ai＋αiI）＋βiPBiB T i P＜0‚ i＝1‚2‚…‚m （3） 有正定对称解矩阵 P．其中‚αi 和βi 是大于0的任 意常数‚I 为单位矩阵． 假设2［5］ 对于切换系统（1）中的不确定项 ΔAi 可分解如下形式： ΔAi＝ DiFi（ t） Ei （4） 其中‚Di 和 Ei 分别是具有适当维数的常值矩阵‚且 Fi（ t）满足条件： F T i （ t）Fi（ t）≤ I （5） 2 主要结果 为给出主要结果‚需要完备性概念． 定义1［12］ 如果对任意 x0∈R n‚都存在 i∈ ｛1‚2‚…‚m｝‚使得 x T 0 Zix0≤0‚则称对称矩阵集合 ｛Z1‚Z2‚…‚Zm｝是完备的．如果对任意 x0∈R n／ ｛0｝‚都存在 i∈｛1‚2‚…‚m｝‚使得 x T 0 Zix0＜0‚则对 称矩阵集合｛Z1‚Z2‚…‚Zm｝称为严格完备的． 引理1［13］ 对任意适当维数矩阵 X、Y 和常数 ε＞0‚有下式成立： X T Y＋Y T X≤εX T X＋ε—1Y T Y． （6） 第29卷 第12期 2007年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．12 Dec．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．12．045