三离散型随机变哥 例3.1二项分布 P(x==Cpgn-k,p+q=1时称X符合二项分布，记为XB(n,p)。 背景：抛n次硬币，X为正面向上次数 例3.2几何分布 P(X==-P+q=1时称X符合几何分布，此时P(X>)= 背景：抛n次硬币，X为第一次正面向上时抛的次数。 几何分布具有无记忆性：P(X-m=kX>m)=P(X=)。反之，若取值为N”的某随机变量满足无 记忆性，即对任意m,k符合上式，则必须服从几何分布， 例3.3泊松分布 P(X=k=e入，A>0时称X符合泊松分布，记为X~P() 背景：网站访问量、百科新词条 放射性粒子数：体积为V的小物块分为n等份每一小块△=，假设每一小块在7内放出1个 a粒子的概率为P=4·△"，放出更多概率为0，且各小块放出与否相互独立。 分析：n块共放出k个概率符合二项分布，令入=V,则 ,固定k,令n趋向无穷，此式极限 即为点c入、由此可知，二项分布可以通近泊松分布： 定义3.1独立性 若红，∈R,P(X=玉，Y=)=P(X=x)P(Y=),则称离散型随机变量X,Y独立。 更一般，称X1,Xn相互独立，若∈R,PX=西1，，Xn=n)=P(X1=x)小…P(Xn=) 定理3.1离散型随机变量X,Y独立，当且仅当P(X≤x,Y≤)=P(X≤x)P(Y≤别)÷F(红，)= Ex(az)Fy(w). 证明：利用分布列（红，）与分布函数F(红，)关系，利用求和可证明仅当，利用左极限可证明当。 例3.4泊松翻转 抛均匀硬币1次，记X,Y为正反出现的次数，计算客易发现不独立。 地款有我NP.升年a功=PK=Y三N中功=e一器器 z+ -()()到-∑e-()，南如x 定理3.2离散型随机变量X,Y独立，9，h是R上的Bol可测函数，则g(X),h(Y)独立。 证明：P(g(X)=a,hY)=)=PU{X=x,UY=)分解球和。 h(v)=a S3.2数学期望 定义3.2数学期望 离散型随机变量X对应分布列∫，∑x)若绝对收敛，则称为X的数学期望，记为E[X] r:f()>0 E=∑（原则上五互不相同，事实上相同不会影响计算）三 离散型随机变量 9 例 3.1 二项分布 P(x = k) = C k np k q n−k , p + q = 1 时称 X 符合二项分布，记为 X ∼ B(n, p)。 背景：抛 n 次硬币，X 为正面向上次数， 例 3.2 几何分布 P(X = k) = q k−1 p, p + q = 1 时称 X 符合几何分布，此时 P(X > k) = q k。 背景：抛 n 次硬币，X 为第一次正面向上时抛的次数。 几何分布具有无记忆性：P(X − m = k|X > m) = P(X = k)。反之，若取值为 N ∗ 的某随机变量满足无 记忆性，即对任意 m, k 符合上式，则必须服从几何分布。 例 3.3 泊松分布 P(X = k) = λ k k! e −λ , λ > 0 时称 X 符合泊松分布，记为 X ∼ P(λ)。 背景：网站访问量、百科新词条 * 放射性粒子数：体积为 V 的小物块分为 n 等份，每一小块 ∆v = V n ，假设每一小块在 7.5s 内放出 1 个 α 粒子的概率为 p = µ · ∆v，放出更多概率为 0，且各小块放出与否相互独立。 分析：n 块共放出 k 个概率符合二项分布，令 λ = µV ，则 P(X = k) = C k np k (1 − p) n−k = n . . .(n − k + 1) k!  λ n k  1 − λ n n−k ，固定 k，令 n 趋向无穷，此式极限 即为 λ k k! e −λ。由此可知，二项分布可以逼近泊松分布。 定义 3.1 独立性 若 ∀x, y ∈ R, P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)，则称离散型随机变量 X, Y 独立。 更一般，称 X1, . . . , Xn 相互独立，若 ∀xi ∈ R, P(X1 = x1, . . . , Xn = xn) = P(X1 = x1)· · · P(Xn = xn)。 定理 3.1 离散型随机变量 X, Y 独立，当且仅当 P(X ≤ x, Y ≤ y) = P(X ≤ x)P(Y ≤ y) ⇔ F(x, y) = FX(x)FY (y)。 证明：利用分布列 f(x, y) 与分布函数 F(x, y) 关系，利用求和可证明仅当，利用左极限可证明当。 例 3.4 泊松翻转 抛均匀硬币 1 次，记 X, Y 为正反出现的次数，计算容易发现不独立。 抛 N 枚均匀硬币，N ∼ P(λ)，计算 f(x, y) = P(X = x, Y = y, N = x + y) = λ x+y (x + y)!e −λ C x x+y 2 x+y =  λ 2 x e −λ/2 x!  λ 2 y e −λ/2 y! ，注意到 fX(x) = X y f(x, y) =  λ 2 x e −λ/2 x! ，由此知 X, Y 独立。 定理 3.2 离散型随机变量 X, Y 独立，g, h 是 R 上的 Borel 可测函数，则 g(X), h(Y ) 独立。 证明：P(g(X) = a, h(Y ) = b) = P  [ g(x)=a {X = x}, [ h(y)=a {Y = y}  分解求和。 §3.2 数学期望 定义 3.2 数学期望 离散型随机变量 X 对应分布列 f， X x:f(x)>0 xf(x) 若绝对收敛，则称为 X 的数学期望，记为 E[X]。 *E[x] = X k xkpk(原则上 xi 互不相同，事实上相同不会影响计算)