定义1一个群G的一个子集H叫做G的一个子群,假如H对于G的乘法来说作成一个群 例1给了一个任意群G,G至少有两个子群: 2.只包含单位元的子集 例2G=3,H=(1)12).,那么H是“的一个子群 IH对于G的乘法来说是闭的, (1)(1=(1),(1)12)=(12),(12)(1=(12),(12(12)=(1) Ⅱ结合律对于所有G的元都对,对于H的元也对 v(∈H V.(1)(1=(1),(12)(12)=(1) 定理1一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是 oa.b∈H=ab∈且 i)a∈H→a∈H 证明:若是(),(i)成立,H作成一个群 由于(),H是闭的 结合律在G中成立,在H中自然成立: 因为H至少有一个元,由,H也有元a,所以由,aa=e∈H 由(),对于H的任意元a来说,H有元a,使 推论假定H是群G的一个子群。那么H的单位元就是G的单位元,H的任意元a在H里的逆元就是a 在G里的逆元。 定理2一个群G的一个不空子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是 (i)a,b∈H→ab1 ∈H 定理3一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的充分而且必要条件是 b∈H→ab∈H定义 1 一个群 G 的一个子集 H 叫做 G 的一个子群，假如 H 对于 G 的乘法来说作成一个群。 例 1 给了一个任意群 G，G 至少有两个子群： 1. G； 2. 只包含单位元 的子集。 例 2 ， 。那么 H 是 的一个子群。 I.H 对于 G 的乘法来说是闭的， (1)(1)=(1)，(1)(12)=(12)，(12)(1)=(12)，(12)(12)=(1)； II.结合律对于所有 G 的元都对，对于 H 的元也对； IV. ； V.(1)(1)=(1)，(12)(12)=(1)。 定理 1 一个群 G 的一个不空子集 H 作成 G 的一个子群的充分而且必要条件是： (i) (ii) 证明：若是(i)，(ii)成立，H 作成一个群。 由于(i)，H 是闭的； 结合律在 G 中成立，在 H 中自然成立； 因为 H 至少有一个元 ，由(ii)，H 也有元 ，所以由(i)， ； 由(ii)，对于 H 的任意元 来说，H 有元 ，使得 。 推论 假定 H 是群 G 的一个子群。那么 H 的单位元就是 G 的单位元，H 的任意元 a 在 H 里的逆元就是 a 在 G 里的逆元。 定理 2 一个群 G 的一个不空子集 H 作成 G 的一个子群的充分而且必要条件是： (iii) 定理 3 一个群 G 的一个不空有限子集 H 作成 G 的一个子群的充分而且必要条件是：