第四章重积分 a+B 因为:(+x2-(0-)=+n2)+(+)n2+(-) (1-r)4+(1-r)(+r)2B A+(-)B=-0-7)1(+7)4+0+)4-)B=-4-) →2A 2(-r2)B 又因1(0)=0→/7)=」m-2x+r)=0,H 例3计算I= d x (a>0,b>0) Inx 解解法一由于 故1=4xdh=∫hxd=广 dy= In 解法二将原式中a固定,把b看成参变量,记 (b)= 则 (b)= dx=xdx ab In 积分可得 /(b)=ln(1+b)+C 因为I(a)=0,所以n(1+a)+C=0,C=-ln(1+a), I=1(6)_ 1+6 例4设l1=dx G2+y= dx 1=d dy=「ax y2+x2)+ 第五节含参变量的积分第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 8 = (1 ) 2 1 4 2          + − A B r =0; 因为： ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ) 2 2 2 2 2 1+ r u − 1− r = A1+ u + B 1+ r u + 1− r  ( )  ( ) ( )    + − = − − + + = + A r B r A r B r 1 1 1 1 2 2  ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )    + + + − = − − − + − + = − 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 r A r r B r r A r r B r  2 2(1 ) 0 2 A+ − r B =  I(r) = C 又因 I(0) = 0  ( ) ln(1 2 cos ) 0 , 1 0 2 = − +    I r r x r dx r  例 3 计算 I x x x dx b a = − 0 1 ln , (a  0,b  0). 解 解法一 由于 a b y y a b b a x dy x x x x x  = = − ln ln , 故 I dx x dy dy x dx a b y a b y = = 0    1 0 1 = + = + + a b y dy b a 1 1 1 1 ln 解法二 将原式中 a 固定, 把 b 看成参变量, 记 I b x x x dx b a ( ) ln = − 0 1 , 则 b dx x dx x x x b I b b b a + = =         −  =   1 1 ln ( ) 1 0 1 0   , 积分可得 I(b) = ln(1+ b) + C. 因为 I(a) = 0, 所以 ln(1+ a) + C = 0, C = −ln(1+ a) , I I b b a = = + + ( ) ln 1 1 . 例 4 设 ( )   + − = 1 0 1 0 2 2 2 2 2 1 dy x y y x I dx =? , ( )   + − = 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 dx x y y x I dy =? ( ) ( ) ( )     + − + + = + − = 1 0 1 0 2 2 2 1 2 2 2 0 1 0 2 2 2 2 2 1 2 dy x y y x y dy dx x y y x I dx ;