￥ 第四章对偶问题及对单纯形法 建立对偶问题之前，必须对原问题进行处理，使之符合前述要求： (一入、若原问题是求目标函数最大，而约束条件方程为“≥”形式，则将该约束条件方 程两端乘以一1，把约束条件变成“≤”形式.若原向题是求目标函数最小，而约束条件方 程为“≤”形式，则做同样的处理。 (仁、原问题的每 一个约束条件方程对应对偶问题的一个决策变量，如果第i个约 束条件为不等式，则限定：≥0：如约束条件方程是“-”这种形式，有两种处理方法： 1.将等式约束条件变为“≥”和“≤”两个约束条件方程，再按（一）处理 2.原问题第i个约束条件是“=”形式，不加变动，对偶问题的决策变量：为自由变 量 巨).原问题的每个决策变量马和对应的系数列向量乃=(，2 ,am,对应 对偶问题的一个约束条件.如果工)≥0，则对应的对偶问题的行约束为不等式；如果) 为自由变量，则对应的对偶问题的约束为“=”型约束； (四、如原问题的松驰变量或多余变量的值不为0，可以把原约束条件方程作为等 式约束条件处理。例如松弛变量表示要存此费的多余物资.就是这种情况。 例2.建立如下线性规划问题的对偶问题 min2=2x1+4x2+3x3 满足 1+22-3g≥5 2x1-3x2-2xg≤3 x1+x2+x3=2. 西≥0，对一切 解将第2个和第3个约束条件处理后得 min 2 2r1+4r2+3r3 满足 x1+2x2-3x3>5. -2x1+32+23≥-3 1+2+≥2 -x1-2-x3≥-2 王≥0，对一切. 设对偶变量为1,2,3和。因为最后两个变量都是对应者原问题的第3个约束条件方 程，所以它们的下标都是3.则对偶问题为： max w -3qz+2gs -2q 满足q1-2g+9g-6≤2， 2q1+32+9%-g≤4 -3q1+242+g-g≤3 g:≥0.对一切i. 第三节对偶问题的基本性质4 Ö✳×✵ØÚÙ✒Û✳Ü✵Ý✒Þ✒Ù✒Û✒ß✒à✒á✳â ★✁✩✢✒✣✒✸✒✹✭✁✷, ❹✒❺✒✢✒✼✒✸✒✹✁❢P ➘ ✔ , ❿ ✭✁❣❸✷✁❤✪ ❊ : (✮ )s✐❆➽✼➽✸➽✹➽✘❊ Ò⑧Ó➽Ô✒Õ➀➽ã, ➷➽❮➽❰➽Ï➽Ð✕➽Ñ✻ “ ≥ ” ✤❳✥, →❳❋❳❥❮➽❰➽Ï➽Ð✕ Ñæ ✾✁◗✁￾ −1, ❍✒❮✒❰✒Ï✒Ð✁✭✒① “ ≤ ” ✤✁✥✯ ❆✒✼✒✸✒✹✒✘❊▲Ò◆Ó✒Ô✒Õ➀✒➁, ➷✒❮✒❰✒Ï✒Ð✕ Ñ ✻ “ ≤ ” ✤✁✥, →✁❦❍✄ ★✒➘✔✒✯ (✳)sü✼✒✸✒✹✒★✒✶✮✒✷❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ✢✒✛✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✮✒✷❐✁✫✁✭✒➔ qi ✯ ❼✁✣✒➓ i ✷ ❮ ❰✒Ï✒Ð✒✻✒➬✒➻✁✥❱ →✁❧➯ qi ≥ 0; ❼✒❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ✘ “=” ➣ ✉✁✤✁✥, ✾æ ✉✒➘✔✒✕✁♠: 1. ❋ ➻✁✥✒❮✒❰✒Ï✒Ð✁✭✒✻ “ ≥ ” ❁ “ ≤ ” æ✷ ❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ, ♥ ✦ (✮ ) ➘ ✔ ; 2. ✼✒✸✒✹✒➓ i ✷ ❮✒❰✒Ï✒Ð✒✘ “ = ” ✤✁✥, ➬✁✞✁✭▼ , ✢✒✣✒✸✒✹✒★✒❐✁✫✁✭✒➔ qi ✻ ❑ r✚✭ ➔; (t)s⑧✼❀✸❀✹❀★❀✶✷❐✬✫✬✭❀➔ xj ❁❀✢❀✛❀★❀❉Õ ■❛➪✐➔ Pj = (a1j , a2j , . . . , amj ), ✢❀✛ ✢✒✣✒✸✒✹✒★✮✒✷❮✒❰✒Ï❀Ð✯ ❼✬✣ xj ≥ 0❱ →✢✒✛✒★✒✢✒✣✒✸✒✹✒★P ❮✒❰❀✻❀➬✒➻✬✥✬❲⑧❼✬✣ xj ✻ ❑ r✚✭✒➔❱ →✢✒✛✒★✒✢✒✣✒✸✒✹✒★✒❮✒❰✒✻ “=” ↕✒❮✒❰✁❲ (✿)s➅❼✒✼✒✸✒✹✒★✁❇✁❈✁✭✒➔✁✼✁❉✁❊✁✭✒➔✒★ cj è ➬✒✻ 0, ÿ✁￾✁❍✒✼✒❮✒❰✒Ï✒Ð✕✒Ñ✁♦✻✒➻ ✥✒❮✒❰✒Ï✒Ð✒➘✔✒✯⑧❣❼✁❇✁❈✁✭✒➔✒②✁✲✒✪❃✁♣✁q★✁❉✁❊✁r✁s✯ ➾✒✘➣ ✉✁t✁✉ ❥ ✯ 2. ★✁✩❼✒❢✒✤✒✥✒✦✒✧✒✸✒✹✒★✒✢✒✣✒✸✒✹: min z = 2x1 + 4x2 + 3x3; ➙✒➛    x1 + 2x2 − 3x3 ≥ 5, 2x1 − 3x2 − 2x3 ≤ 3, x1 + x2 + x3 = 2, xj ≥ 0, ✢ ✮✒❇j. ✈ ❋ ➓ 2 ✷ ❁✒➓ 3 ✷ ❮✒❰✒Ï✒Ð✒➘✔ ❙ý min z = 2x1 + 4x2 + 3x3; ➙✒➛    x1 + 2x2 − 3x3 ≥ 5, −2x1 + 3x2 + 2x3 ≥ −3, x1 + x2 + x3 ≥ 2, −x1 − x2 − x3 ≥ −2, xj ≥ 0, ✢ ✮✒❇j. ➒✢❀✣✬✭❀➔❀✻ q1,q2,q3 ❁ q 0 3 ✯ ➦❀✻❀➀✬❙æ✷ ✭❀➔❀✽❀✘❀✢❀✛❅✼❀✸❀✹❀★❀➓ 3 ✷ ❮❀❰❀Ï❀Ð✕ Ñ , ♦✁￾ ✪➢ ★✒❢Ó ✽✒✘ 3✯ →✢✒✣✒✸✒✹✒✻: max w = 5qx1 − 3q2 + 2q3 − 2q 0 3 ; ➙✒➛    q1 − 2q2 + q3 − q 0 3 ≤ 2, 2q1 + 3q2 + q3 − q3 ≤ 4, −3q1 + 2q2 + q3 − q3 ≤ 3, qi ≥ 0, ✢ ✮✒❇i. ❘✡✇❚❯ ❱❚❲❚❳❚❨❚❩✏①✏②✍③✏④