第3节真值指派 第2章命题逻辑 围。某种意义上来说,逻辑学关心的不是“原子事实”的真假,而是怎样处理由逻辑符号 生成的复合命题的真假。我们今后会看到,这一点在一阶逻辑的真值理论中表现得更为明 对初学者来说,除了对蕴涵式的规定外,其它的都好理解。当然,我们可以简单地 说:在数学中蕴涵就是这样规定的。但我们还是给出几种解释,希望能说服初学者这样的 规定是有道理的。在专门的模态逻辑课程中对蕴涵的意义往往会有更多的讨论。 第一种解释:考察:“如果中国足球队夺冠,我就把我鼻子吃了” 假设我在看球时跟朋友说了这样的话,而比赛结果真的是中国队夺冠(前件为真), 那朋友绝对有权利要求我把自己的鼻子吃了,因为否则我就说了假话(后件为假,所以整 个命题为假,见真值表的第二行第六列。),无面目站在讲台之上。但是,更为可能的是中 国队没有夺冠(前件为假,在我的记忆中,这个命题总是假。),那朋友就没有权利要求我 吃鼻子了,因为无论如何,我都说了真话(既然前件为假,无论后件是否为真,整个命题 都真。见真值表的第三行第四行,第六列。)。 第二种解释:考察(A∧B)→B。 在这个例子中,后件“包含”在前件中。当我们肯定了前件时,当然肯定了作为其 部分的后件,所以直观上这个命题无论如何都是真的。考察真值表的结果也是一样,不管 A,B取何值,整个公式一定为T。现在考虑如下两种情况:(1)A为假而B为真,则我 们得到的是F→T;(2)B为假,这时前件和后件都是假的,我们得到F→F。但根据 以上的讨论,整个命题依然为真。所以F→T和F→F的真值都应设为T。 第三种解释:我们自行设计我们觉得满意的真值表 B(a→B) aTTFF 首先,大家对前两行应该没有异议。剩下的是选择X和Y的值。我们选了X Y=T大家不满意。现在你们来选。只有三种可能,大家会发现都不合适。第一种可能 X=T,Y=F,这时第二列与第三列完全相同,即A→B与A的真假全无关系。第 种可能:X=F,Y=T,这与A分B相同。第三种可能:X=Y=F,这与AAB相 同 例21.令a为下列合式公式 (B→(A→C)分(B∧A)→C) 假定v(4)=v(B)=T并且v(C)=F。找出v(a)的值。 答案:(a)=T。第 3 节 真值指派 第 2 章 命题逻辑 围。某种意义上来说，逻辑学关心的不是“原子事实”的真假，而是怎样处理由逻辑符号 生成的复合命题的真假。我们今后会看到，这一点在一阶逻辑的真值理论中表现得更为明 显。 对初学者来说，除了对蕴涵式的规定外，其它的都好理解。当然，我们可以简单地 说：在数学中蕴涵就是这样规定的。但我们还是给出几种解释，希望能说服初学者这样的 规定是有道理的。在专门的模态逻辑课程中对蕴涵的意义往往会有更多的讨论。 第一种解释：考察：“如果中国足球队夺冠，我就把我鼻子吃了”。 假设我在看球时跟朋友说了这样的话，而比赛结果真的是中国队夺冠（前件为真）， 那朋友绝对有权利要求我把自己的鼻子吃了，因为否则我就说了假话（后件为假，所以整 个命题为假，见真值表的第二行第六列。），无面目站在讲台之上。但是，更为可能的是中 国队没有夺冠（前件为假，在我的记忆中，这个命题总是假。），那朋友就没有权利要求我 吃鼻子了，因为无论如何，我都说了真话（既然前件为假，无论后件是否为真，整个命题 都真。见真值表的第三行第四行，第六列。）。 第二种解释：考察 (A ∧ B) → B。 在这个例子中，后件“包含”在前件中。当我们肯定了前件时，当然肯定了作为其一 部分的后件，所以直观上这个命题无论如何都是真的。考察真值表的结果也是一样，不管 A，B 取何值，整个公式一定为 T。现在考虑如下两种情况：（1）A 为假而 B 为真，则我 们得到的是 F → T；（2）B 为假，这时前件和后件都是假的，我们得到 F → F。但根据 以上的讨论，整个命题依然为真。所以 F → T 和 F → F 的真值都应设为 T。 第三种解释：我们自行设计我们觉得满意的真值表： α β (α → β) T T T T F F F T X F F Y 首先，大家对前两行应该没有异议。剩下的是选择 X 和 Y 的值。我们选了 X = Y = T 大家不满意。现在你们来选。只有三种可能，大家会发现都不合适。第一种可能： X = T，Y = F，这时第二列与第三列完全相同，即 A → B 与 A 的真假全无关系。第二 种可能：X = F，Y = T，这与 A ↔ B 相同。第三种可能：X = Y = F，这与 A ∧ B 相 同。 例 2.1. 令 α 为下列合式公式 (((B → (A → C)) ↔ ((B ∧ A) → C)))。 假定 v(A) = v(B) = T 并且 v(C) = F。找出 v(α) 的值。 答案：v(α) = T。 6