习题13.5微分形式 1.计算下列外积: (1)(xdx+7=2dy)A(ydx-xdy+6d=) (2)(cos ydx+cos xdy)a(sin ydx-sin xdy); (3)(6∧d+27ax∧d)(dx+d+d) AF(1)(xdx+7=2dy)a(ydx-xdy+6d= (x+7yz- )dx a dy +42=dy a d= -6xdz a dx (2)(cos ydx+cos xdy )A(sin ydx-sin xdy) sin(x+y)dx∧d (3)(6∧的+27dx∧d)∧(dx++d) =-2ldx∧dyAd 2.设 @=ao +a,dx ,+, dx a dx, +a, dx A dx, a dxa n=b,dx, a dx,+b,dx, Adx,+b, dx, dx2+bdx,Adx3∧d 求+n和a∧n 解+ b,dx, ndx+(a2+b2 d +btx1∧dx2∧ax3+(a3+b)dx2Adx3Adx4; ∧n=abx1∧ax2+a0b2dx∧d3+a0b2 obdx2∧ax3^dx4+a1b4dx1∧dx2∧dx3Adx4 3.求 dx A dx2+x, dx2 A,+(1+x 2 )dx, A dx, 的标准形式 解 xdx, a dx dx3+(xf +x3)dx2 Adx -(x2 4.证明外积满足分配律和结合律 证由外积的线性性质,只需对a,n,分别是p-形式、q-形式和r-形 式的情形证明即可。 设o=∑f(x),=∑g(x)bx,=∑h(x)k,则 Aa=∑(x)+∑81(x),^∑h(x)dk ∑f(x)hk(x)tx1^ak+∑g/(xhk(x)tx^dk 0∧+1∧σ习 题 13.5 微分形式 1. 计算下列外积： （1）(xdx + 7z 2 dy) ∧ ( ydx − xdy + 6dz)； （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy)； （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz)。 解（1）( 7 ) ( 6 ) 2 xdx + z dy ∧ ydx − xdy + dz = − (x + 7 yz )dx ∧ dy 2 2 + 42z dy ∧ dz − 6xdz ∧ dx 2 。 （2）(cos ydx + cos xdy) ∧ (sin ydx − sin xdy) = − sin(x + y)dx ∧ dy 。 （3）(6dx ∧ dy + 27dx ∧ dz) ∧ (dx + dy + dz) = − 21dx ∧ dy ∧ dz 。 2. 设 1 1 2 2 1 3 3 1 2 3 4 2 3 4 。 0 1 1 2 1 3 3 2 3 4 d d d d d d d d d d d d d d d d , b x x b x x b x x x b x x x a a x a x x a x x x = ∧ + ∧ + ∧ ∧ + ∧ ∧ = + + ∧ + ∧ ∧ η ω 求ω +η和ω ∧η。 解 0 1 1 1 1 2 2 2 1 3 ω +η = a + a dx + b dx ∧ dx + (a + b )dx ∧ dx + b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 3 4 2 3 4 + (a + b )dx ∧ dx ∧ dx ； ω ∧η = a0b1dx1 ∧ dx2 + a0b2dx1 ∧ dx3 + a0b3dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 + a0b4dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 + a1b4dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 ∧ dx4 。 3. 求 3 2 2 2 1 3 1 2 2 2 3 3 1 2 1 3 2 2 1 1 2 3 2 3 2 ( )d d d d d d d d d (1 )d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + ∧ ∧ − ∧ ω = ∧ + ∧ + + ∧ + ∧ 的标准形式。 解 ω = 1dx1 dx2 dx1 dx3 x ∧ + ∧ 3 2 3 2 1 + (x + x )dx ∧ dx 1 2 3 2 3 2 2 − (x + x )dx ∧ dx ∧ dx 。 4. 证明外积满足分配律和结合律。 证 由外积的线性性质，只需对ω,η,σ 分别是 p − 形式、q −形式和r −形 式的情形证明即可。 设 K K J K J I J I ω = ∑ f I (x)dx ,η = ∑g (x)dx ,σ = ∑h (x)dx ，则 (ω +η) ∧σ = K K J K J I J I I ∑ f (x)dx ∑g (x)dx ∧∑h (x)dx ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∑ ∧ + ∑ ∧ J K J K J K I K fI x hK x dxI dxK g x h x dx dx , , ( ) ( ) ( ) ( ) =ω ∧σ +η ∧σ 。 1