第十六讲分离变量法 第7页 利用上面初始、就化以出 f(a)sin zdz 2an2(ma)2-(u)2 贯n=奇均外Cn才不为0男适样外最就求出 简 m'a h=o L(2n+1)(2n+ 1)Ta2-(a) sin I TE sin-I-natl 按 u(a, t) A cos w(a-1/2)/a sin wt 4[1 2m+1 2n+1 (2n+1)2[(2n+1)]2-(u 分迫代角频率正好度弦就,固频率外 =(2k+1)m/,k为就程一非成整 弦在分迫代作用下会于问题振现 第界 例16.3求解,解问题 0<x<a,0<y<b 0≤y≤b, l=0=ox,叫=b=v(x),0sx≤a 研十六求出弦通解 cry+f(r+iy)+g(r-iy) 适当选择函f+9外八外 ∫(x+iy)+g(x-iy) x iy) 使位般解 6 齐次 了特同时齐次 (x,y)=0 0 r=a u(aWu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 7 ❣ ➂ ❐➃➄✰➺➻✺✻➑✽➈ ✲➧ Dn = 0, Cn = − 2ω nπa Z l 0 f(x) sin nπ l xdx = − 2A0ωl3 π2a 1 − (−) n n2 1 (nπa) 2 − (ωl) 2 . ❉❊ n = ➅✴ ✭✛ Cn ➆❮✇ 0 ✵ ❃ →✛➇➈➑➦➧❆ w(x, t) = − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0  1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat ❈ u(x, t) = − A0 ω2  1 − cos ω(x − l/2)/a cos(ωl/2a)  sin ωt − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0  1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat . ➉➊➋➌ ✄ ✥✦✜✰➍➎➏ ω ➪➐✬✤✰➑➒ ✣❊ ➎➏✛ ω = (2k + 1)πa/l, k✇➑ ●➓ ✲✰✓➔➳ ✴ ✤➮✥✦✜✰→❐ ➼➣↔↕➙✧➬➛✵ ✇ 16.3 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = xy, 0 < x < a, 0 < y < b, u   x=0 = 0, u   x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u   y=0 = φ(x), u   y=b = ψ(x), 0 ≤ x ≤ a. ✗ ➜➝➦➧✣✤✰❥❦ 1 6 x 3 y + f(x + iy) + g(x − iy). ❃ ❤❾❿✉ ✴ f ❈ g ✛➞➟✛ f(x + iy) + g(x − iy) = − a 2 24i (x + iy) 2 − (x − iy) 2 = − 1 6 a 2xy, ❽✩❘✰❦ v(x, y) = 1 6 ￾ x 2 − a 2
xy ◆❖❧♠✸✹✺✻ v(x, y)   x=0 = 0, v(x, y)   x=a = 0. ❀ u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),