《现代控制理论基础》第一章(讲义) 2 21 (1.21) 注意:由式(1.18)定义的变换矩阵P将z的系统矩阵转变为对角线矩阵。由式(1.20)显然 可看出,3个纯量状态方程是解耦的。注意式(1.19)中的矩阵PP的对角线元素和矩阵A 的3个特征值相同。此处强调A和P4AP的特征值相同,这一点非常重要。作为一般情况, 我们将证明这一点 1.24特征值的不变性 为证明线性变换下特性值的不变性,需证明λI-A和AI-PAP的特征多项式相 由于乘积的行列式等于各行列式的乘积,故 12-P- AP=AP-- AP =P(a-API =P-IN-AIIPI =P-IPIIA-A 注意到行列式P和P的乘积等于乘积PP的行列式,从而 AI-PlAP|=|PPl|λI-4 这就证明了在线性变换下矩阵A的特征值是不变的 1.2.5状态变量组的非唯一性 前面已阐述过,给定系统的状态变量组不是唯一的。设x1,x2,…xn是一组状态变量, 可取任意一组函数 x1=X1(x1,x2,…,xn) x,=X, (x,x《现代控制理论基础》第一章(讲义) 8 [1 1 1] (1.21) 1 4 9 1 2 3 1 1 1 [1 0 0] 3 2 1 3 2 1           =                     = − − − z z z z z z y 注意：由式(1.18)定义的变换矩阵 P 将 z 的系统矩阵转变为对角线矩阵。由式(1.20)显然 可看出，3 个纯量状态方程是解耦的。注意式(1.19)中的矩阵 P -1AP 的对角线元素和矩阵 A 的 3 个特征值相同。此处强调 A 和 P -1AP 的特征值相同，这一点非常重要。作为一般情况， 我们将证明这一点。 1.2.4 特征值的不变性 为证明线性变换下特性值的不变性，需证明|λI - A|和|λI – P -1 AP|的特征多项式相 同。 由于乘积的行列式等于各行列式的乘积，故 | | | | | | | | | | | | | ( ) | | | | | 1 1 1 1 1 1 P P I A P I A P P I A P I P AP P P P AP = − = − = − − = − − − − − −      － 注意到行列式|P -1 |和|P|的乘积等于乘积|P -1P|的行列式，从而 |λI-P -1AP| = |P -1P| |λI-A| = |λI-A| 这就证明了在线性变换下矩阵 A 的特征值是不变的。 1.2.5 状态变量组的非唯一性 前面已阐述过，给定系统的状态变量组不是唯一的。设 n x , x , , x 1 2  是一组状态变量， 可取任意一组函数, ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ ( , , , ) ˆ 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 n n n n n x X x x x x X x x x x X x x x    = • • • = =