习题11.2多元连续函数 1.确定下列函数的自然定义域: (1)u=ln(y-x)+ (2)u=-+-+ (3)u=√R y (R>r) (4)u=arcsin 解()D=(xx+y2<1,y>x D=(xy=)x>0y>0.z>0} (3)D=(xy2≤x +y2+2≤R2 (4)D=kxy-列5x2+y2x2+y2≠0 2.设 0),求f(x)。 解因为 所以 f(x)= 3.若函数 z(x,y)=y+f(√x-1), 且当y=4时z=x+1,求f(x)和x(x,y) 解由(x,4)=√4+f(x-1)=x+1,可得 f(√x-1) 所以 f(x)=(x+1)2-1 4.讨论下列函数当(x,y)趋于(0,0)时的极限是否存在习题 11.2 多元连续函数 1. 确定下列函数的自然定义域： （1） 2 2 1 ln( ) x y x u y x − − = − + ； （2） x y z u 1 1 1 = + + ； （3） ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 u = R − x − y − z + x + y + z − r R > r ； （4） 2 2 arcsin x y z u + = 。 解 (1) D = {(x, y) x + y < 1, y > x} 2 2 。 (2) D = { } (x, y,z) x > 0, y > 0,z > 0 。 (3) { } 2 2 2 2 2 D = (x, y,z) r ≤ x + y + z ≤ R 。 (4) {( , , ) , 0} 2 2 2 2 D = x y z z ≤ x + y x + y ≠ 。 2. 设 2 2 3 / 2 3 (x y ) x x y f + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (x > 0)，求 f (x)。 解 因为 3 2 2 3/ 2 3 2 2 1 ( ) 1 y x f x x y y x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠ + ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦ ， 所以 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x + = 。 3． 若函数 z(x, y) = y + f ( x −1)， 且当 y = 4时 z = x +1，求 f (x)和 z(x, y)。 解 由 z( , x f 4) = + 4 ( x −1) = x +1，可得 2 f x ( 1− =) x −1 = ( 1 x − +1) −1， 所以 2 2 f ( ) x x = + ( 1) −1 = x + 2x , z(x, y) = x + y −1。 4． 讨论下列函数当(x, y)趋于(0,0) 时的极限是否存在： 1