8.设A,B∈ Matron(R),并且A=A,证明:如果AB+BA是正定的,则≠0 证用反证法,假设A=0,则线性方程组AX=0有非零解,设X是它的非零解,则有 X(AB+BA)X= X'ABX+XTBAX-XTABX+XB0=(AX)BX-0BX=0 这与AB+BA是正定的相矛盾,所以必有A≠0. 9.设A∈ Manx(R),证明:AA是半正定的 证对任意X≠0, XTATAX=(AX)(AX)≥0,所以ATA是半正定的8.设 A，B∈Matn×n(R)，并且 AT=A，证明：如果 AB+BA 是正定的，则|A|≠0． 证 用反证法．假设|A|=0，则线性方程组 AX=0 有非零解，设 X 是它的非零解，则有 X T(AB+BA)X= X TABX+X TBAX= X TATBX+X TB0=(AX)TBX=0 TBX=0 这与 AB+BA 是正定的相矛盾，所以必有|A|≠0． 9.设 A∈Matn×n(R)，证明：ATA 是半正定的． 证 对任意 X≠0，XTATAX=(AX)T (AX)≥0，所以 ATA 是半正定的．