第三十讲 Green函数(三) §30.1含时 Green函数 以波动方程为例 为了确定起见,讨论有界弦的波动问题 最一般的定解问题就是 ∽ a2u(,t)(,= f(,t), t2-a2 ax2 0<x<l,t>0 u(,t)==(x) (,) at It=0 =(),0<x<l 可以预料,相应的 Green函数(x,tx,t)应该是瞬时(仅存在于某一时刻)点(仅存在于空间某点) 源问题 r202 2 at2 a G(x,tx,t)=(x-x)(t-t),0<x,x<l,t,t>0 x2 在齐次定解条件 G(x,t,==0,g(x,tx,)==0 t,t>0, G(, t; r', t')=0, aG(,t;I',) at It<t =0, 0<x,x<1 下的解这里初始条件的物理意义是很清楚的:因为驱动力是在t=t时刻出现的,所以,在此以 前,弦当然一定保持静止 和一般的问题一样,现在需要讨论三个问题: Green函数G(x,t;x,t)的对称性 二如何用 Green函数及已知条件f(x,t),(t),v()和(x),y(x)将定解问题的解u(x,t表示出来 三如何求出 Green函数Wu Chong-shi ￾✁✂✄ Green ☎✆ (✁ ) §30.1 ✝✞ Green ✟✠ ✡☛☞✌✍✎✏✑ ✎✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢☛☞✣✤✑ ✥✦✧✢✔★✣✤✩✪ ∂ 2u(x, t) ∂t2 − a 2 ∂ 2u(x, t) ∂x2 = f(x, t), 0 < x < l, t > 0, u(x, t)   x=0 = µ(t), u(x, t)   x=l = ν(t), t > 0, u(x, t)   t=0 = φ(x), ∂u(x, t) ∂t    t=0 = ψ(x), 0 < x < l. ✫✡✬✭✗✮✯✢ Green ✰✱ G(x, t; x 0 , t0 ) ✯✲✪✳✴ (✵✶✷✸✹✦✴✺) ✻ (✵✶✷✸✼✽✹✻) ✾✣✤ h ∂ 2 ∂t2 − a 2 ∂ 2 ∂x2 i G(x, t; x 0 , t0 ) = δ(x − x 0 )δ(t − t 0 ), 0 < x, x0 < l, t, t0 > 0 ✷✿❀✔★❁❂ G(x, t; x 0 , t0 )   x=0 = 0, G(x, t; x 0 , t0 )   x=l = 0, t, t0 > 0, G(x, t; x 0 , t0 )   t<t0 = 0, ∂G(x, t; x 0 , t0 ) ∂t    t<t0 = 0, 0 < x, x0 < l ❃✢★✑❄❅❆❇❁❂✢❈❉❊❋✪●❍■✢❏❑✎▲☞▼✪✷ t = t 0 ✴✺◆❖✢✗P✡✗✷◗✡ ❘✗✜❙❚✦✔❯❱❲❳✑ ❨✦✧✢✣✤✦❩✗❖✷❬❭✘✙❪❫✣✤❏ ✦ Green ✰✱ G(x, t; x 0 , t0 ) ✢❴❵❛ ❜ ❝❞❡ Green ✰✱❢ ❣❤❁❂ f(x, t), µ(t), ν(t) ❨ φ(x), ψ(x) ✐ ✔★✣✤✢★ u(x, t) ❥❦◆❧ ❪ ❝❞♠◆ Green ✰✱