d(Sn,S)= sup I s;(x)-S(x)|→0(n→∞) 于是对任意数列{xn},xn∈D,成立 S,(xn)- S(xn) (n→∞ 关于充分性,我们采用反证法,也就是证明:若{S(x)}在D上不一致收敛 于S(x),则一定能找到数列{xn},xn∈D,使得S(xn)-S(xn)-/→0(n→∞)。 我们已经知道,命题“{xn}在D上一致收敛于S(x)”可以表述为 ye>0,彐N,Vn>N,x∈D:|S(x)-Sx)|<ε 于是它的否定命题“{S(x)}在D上不一致收敛于Sx)”可以表述为: 3E0>0,VN>0,3n>N,彐x∈D:|S(x)-Sx)|≥ 于是下述步骤可以依次进行: 取N1=1,3n1>1,3xn∈D:|Sn(xn)-S(xn)≥E 取 彐xn∈D:|Sn(x) 取N=Nk-,3Nk>Mk-1,3xn∈D:|Sn(xn)-S(xn)|≥E 对于m∈N{n,m,m,…},可以任取xm∈D,这样就得到数列{xn}, ∈D,由于它的子列x。使得 )-S(xn)|≥ 显然不可能成立 (S(xn)-S(xn))=0 证毕 定理2常用于判断函数序列的不一致收敛性。例如对例6中的 SAx)=x,x∈[0,1),我们可以取n=1-1∈[0,1,则S)-Sx)=(-1y 1(m-∞),这说明SAx)在[0,1)上不一致收敛于Sx)=0:对于例1018中 的Sx1+n3+,x∈(0,+∞),我们可以取x=-,则S(x)-Sx)≈上同 nx 样也说明{S(x)}在(0,+∞)不一致收敛于S(x)=0 例9设S y,x∈[0,1见例4),则{Sx)}在[0,1]收敛于 S()=0.我们取x=1,则d (Sn，S) = │S x∈D sup n(x) - S(x)│→0 (n→∞). 于是对任意数列{xn }，xn ∈D，成立 │Sn(xn ) - S(xn )│≤ d (Sn，S) → 0 (n→∞). 关于充分性，我们采用反证法，也就是证明：若{Sn(x)}在D上不一致收敛 于S(x)，则一定能找到数列{xn }，xn ∈D，使得Sn(xn ) - S(xn ) ─/→ 0(n→∞)。 我们已经知道，命题“{xn }在D上一致收敛于S(x)”可以表述为 ∀ε＞0，∃ N， ∀n＞N，∀x∈D ：│Sn(x) - S(x)│＜ε. 于是它的否定命题“{Sn(x)}在D上不一致收敛于S(x)”可以表述为： ∃ε0＞0，∀ N＞0，∃ n＞N，∃ x∈D ：│Sn(x) - S(x)│≥ 0 ε 于是下述步骤可以依次进行： 取 N1＝1， ∃n1＞1， ∃ xn1 ∈D ：│ Sn1 ( ) xn1 - S( ) xn1 │≥ ，0 ε 取 N2＝n1， ∃n2＞n1， ∃ xn2 ∈D ：│Sn2 ( ) xn2 - S( ) xn2 │≥ ，0 ε …… 取 Nk＝Nk -1， ∃Nk＞Nk -1，∃ xnk ∈D ：│Snk ( ) xnk - S( ) xnk │≥ ，0 ε …… 对于m∈N+ \{n1，n2，...nk，...}，可以任取xm∈D，这样就得到数列{xn }，xn ∈D，由于它的子列 使得 k n x │Snk ( ) xnk - S( ) xnk │≥ 0 ε ， 显然不可能成立 n ∞→ lim (Sn(xn ) - S(xn )) = 0 。 证毕 定理 2 常用于判断函数序列的不一致收敛性。例如对例 6 中的 Sn(x) = x n ，x∈[0，1)，我们可以取xn = 1 - n 1 ∈[0，1)，则Sn(x) - S(x) = (1 - n 1 ) n → e 1 (n→∞)，这说明{Sn(x)}在［0，1)上不一致收敛于S(x) = 0；对于例 10.1.8 中 的S(x) = 22 1 n x nx + ，x∈(0，+∞)，我们可以取xn = n 1 ，则Sn(xn ) - S(xn ) = 2 1 同 样也说明{Sn(x)}在(0，+∞)不一致收敛于S(x) = 0. 例 9 设Sn(x) = nx(1 - x 2 ) n ，x∈[0，1](见例 4)，则{Sn(x)}在［0，1］收敛于 S(x) = 0。我们取xn = n 1 ，则 Sn(xn ) - S(xn ) = (1 - 2 1 n ) n → 1 (n→∞)