43 44 多元正态分布的性质 多元正态分布的性质 6.线性变换的正态性 6.线性变换的正态性 ■多元正态分布的随机向量的线性变换仍然是多 ■白化变换 元正态分布的随机向量，即 A=①AP→py)~N(A,I p(x)~N(u,) 其中，矩阵①的列向量是Σ的正交特征向量，矩 y=ATxA∈Rt 阵A由Σ相应的特征根构成的对角矩阵。 →py)-N(A'μ，ATΣA: 口将任意的多元正态分布变换成球形分布，即变换 后分布的协方差矩阵是单位矩阵。 口由于协方差矩阵∑是对称矩阵，因此总可以找到 ■线性组合的正态性 某个线性变换A,使变换后的协方差矩阵ATΣA 成为对角矩阵，这就意味着在某一个新的坐标系 口当k=l时（即A是d维向量a,则y=ax是一个 标量，是x的线性组合 统中，可以做到使各分量之间相互独立。 py)~N(a'μ，a'a: 45 多元正态分布的性质 6.线性变换的正态性 图2多特征空同中的一个线件变瘤将 个任意工老分率变成另一个正态分和 个变，A,将原分布变成分右NA N):努一个线性变换，导由向量a决定 的向某条点线的授影P,产生合装直战方 向的N(,产)分有。尽管这选变换产生 个本同空翼中的分布，我们还是特它们品 在工空间中。一种白化变装，人 将产生一个器周你的高新分布43 多元正态分布的性质 6. 线性变换的正态性  多元正态分布的随机向量的线性变换仍然是多 元正态分布的随机向量，即  由于协方差矩阵Σ是对称矩阵，因此总可以找到 某个线性变换A，使变换后的协方差矩阵ATΣA 成为对角矩阵，这就意味着在某一个新的坐标系 统中，可以做到使各分量之间相互独立。 ( ) ~ ( , ); , ( ) ~ ( ) y A μ A ΣA y A x A x μ,Σ T T T d k p N p N     44 多元正态分布的性质 6. 线性变换的正态性  白化变换 其中，矩阵Φ的列向量是Σ的正交特征向量，矩 阵Λ由Σ相应的特征根构成的对角矩阵。  将任意的多元正态分布变换成球形分布，即变换 后分布的协方差矩阵是单位矩阵。  线性组合的正态性  当 k=1 时(即A 是 d 维向量 a)，则 y=aTx 是一个 标量，是 x 的线性组合 1 2 ( ) ~ ( , ); T w w p N  A   ΦΛ y A μ I ( ) ~ (a μ,a Σa); T T p y N 45 多元正态分布的性质 6. 线性变换的正态性