判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件,我们不加证明地给 出,请有兴趣的读者将证明补上 定理2设点x=(x,x2,…,x0)及m个常数λ1,A2…,满足方程组(*),则 当方阵 (x0,A1,A2…,元n) 为正定(负定)矩阵时,x为满足约束条件的条件极小(大)值点,因此∫(x) 为满足约束条件的条件极小(大)值 注意,当这个定理中的方阵为不定时,并不能说明∫(x0)不是极值。例如, 在求函数f(x,y,2)=x2+y2-2在约束条件z=0下的极值时,构造 Lagrange函 数L(x,y,)=x2+y 在,并解方程组 Lx=2x=0, L,=2y=0 L.=-2=-2=0, =0 得x=y=z=4=0。而在(0,0,0,0)点,方阵 00 020 是不定的。但在约束条件z=0下,f(x,y)=x2+y2≥f(0,0,0)=0,即f(0,0,0) 是条件极小值。 4.例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题,这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性(如前面的例子)。这样的话,只要把用 Lagrange乘数法所解得的 点的函数值加以比较,最大的(最小的)就是所考虑问题的最大值(最小值) 例1要制造一个容积为a立方米的无盖长方形水箱,问这个水箱的长、宽 高为多少米时,用料最省? 解设水箱的长为x、宽为y、高为z(单位:米),那么问题就变成在水箱 容积 的约束条件下,求水箱的表面积 S(x,y,2) 的最小值。 作 Lagrange函数 L(x, y, 2, 1)=xy+2x2+2yz-i(xyz-a) 从方程组 Lx=y+2=-yz=0, L,=x+22-4x=0. L=2x+2y-xy=0, =0判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给 出，请有兴趣的读者将证明补上。 定理 2 设点 x0 = 1 0 2 0 L xxx n 0 ),,,( 及m 个常数λ λ λ m ,,, 21 L 满足方程组（*），则 当方阵 nn m lk xx L × ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ ),,,( 210 2 x L λλλ 为正定（负定）矩阵时， 为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此 为满足约束条件的条件极小（大）值。 x0 )(x0 f 注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明 不是极值。例如， 在求函数 在约束条件 )(x0 f 222 ),,( −+= zyxzyxf z = 0下的极值时，构造 Lagrange 函 数 −−+= λzzyxzyxL ，并解方程组 222 ),,( ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = =−−= == == 0 ,02 ,02 ,02 z zL yL xL z y x λ 得 zyx λ ==== 0 。而在 点，方阵 )0,0,0,0( ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 002 zzzyzx yzyyyx xzxyxx LLL LLL LLL 是不定的。但在约束条件 下， ，即 是条件极小值。 z = 0 ),,( 0)0,0,0( 22 fyxzyxf =≥+= f )0,0,0( 4．例题 在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定 最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用 Lagrange 乘数法所解得的 点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。 例 1 要制造一个容积为 立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、 高为多少米时，用料最省？ a 解 设水箱的长为 x、宽为 、高为 （单位：米），那么问题就变成在水箱 容积 y z xyz = a 的约束条件下，求水箱的表面积 = + + 22),,( yzxzxyzyxS 的最小值。 作 Lagrange 函数 λ = + + − λ − axyzyzxzxyzyxL )(22),,,( ， 从方程组 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =−+= =−+= =−+= 0 22 ,0 ,02 ,02 axyz xyyxL xzzxL yzzyL z y x λ λ λ 4