水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 b =f(5)=fa,(x)(平均值 (8)若f(x)在[-a]上是可积的奇函数,则」f(x)dtx=0 若f(x)在[-a,d上是可积的偶函数,则f(x)dx=2f(x)r (9)若f(x)是可积的周期函数,切周期为T,则对任意是实数a必有f(x)d=」。f(x)dh (0)若连续函数f(x)满足J/(x)d=0,则存在x∈(b)使得f(x)=0 (1)若非负连续函数f(x)满足」f(x)x=0,则vx∈[a,b1,f(x)=0 (12)分部积分法设∫(x)与g(x)在[a,b连续,F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数,则 ∫”f(x)g(xk=F()g(x)2-JF(x)g(x)d 13)区间变换f(x)d→f(x()x()d:令1=q ∫,(x)→(x)(0:令1=ba(d-)+c 1)i运用定积分求极限常用公式为mb-aSf )=|f(x)d 其中f(a+ b-k)=f(s),o-d=mk (15)2 sin"xdx cos x dx,记 sin"xdx,则 n2,(n=2,3,…),初值:0=,1 上述结果可归纳得到下述实用形式 (2 (2m)! l(n=1,2,3,…) (2n+1)! 定积分的近似计算: 矩形法:f(x (yo+y1+…+yn-1) 梯形法:(x)=二1(x+y,)+y+…+ym 抛物线法:f(x、b-a (yo+yn)+2(y2+y4+…+yn-2)+4(y1+y3 y-D)] 定积分的几何应用 1.绕x轴旋转生成的旋转体的体积(小圆台法)水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 __________ ],[ )()( )( xff ab dxxf Ba b a == − ∫ ξ （平均值） （8）若 在 上是可积的奇函数 xf )( − aa ],[ , 则 = 0)( ; ∫− a a dxxf 若 在 上是可积的偶函数 xf )( − aa ],[ , 则 = ∫∫ 。 − a a a dxxfdxxf 0 )(2)( （9）若 是可积的周期函数 xf )( , 切周期为T ，则对任意是实数 必有 a ∫∫ = +Ta T a dxxfdxxf 0 )()( （10）若连续函数 满足 xf )( ∫ = 0)( ，则存在 b a dxxf ),( 0 ∈ bax 使得 0)(xf 0 = 。 （11）若非负连续函数 满足 xf )( ∫ = 0)( ，则 b a dxxf ∀ ∈ xfbax ≡ 0)(],,[ 。 （12）分部积分法 设 与 在 连续， 为 在 上的一个原函数，则 xf )( ′ xg )( ba ],[ xF )( xf )( ba ],[ ∫ ∫ = − b a b a b a )(')()()()()( dxxgxFxgxFdxxgxf （13）区间变换 dttxtxfdxxf ：令 b a )('))(()( 1 ∫∫ 0 ⇒ ab ax t − − = ， dttxtxfdxxf d c b a )('))(()( ⇒ ∫∫ ：令 ccd ab ax t +− − − = )( ， （14）运用定积分求极限常用公式为 ∑ ∫ = − + − = ∞→ b a n k dxxfk n ab af n ab lim )()( 1 n ， 其中 ( )() k fk n ab af = ξ − + ， k x n ab Δ= − （15） ∫ 2 0 sin π xdx n ∫ = 2 0 cos π xdx n ，记 ∫ = 2 0 sin π I xdx n n ，则 2 1 − − n = n I n n I ，（ n = ,3,2 L），初值： 1, 2 0 II 1 == π 。 上述结果可归纳得到下述实用形式： 1 !)!12( !)!2( , 2!)!2( !)!12( 2 12 ⋅ + ⋅ = − = + n n I n n I n n π （ n = ,3,2,1 L）。 定积分的近似计算： 矩形法： ∫ +++ − − ≈ b a n yyy n ab xf ()( ) 10 L 1 梯形法： ∫ ++++ − − ≈ b a n n yyyy n ab dxxf )( ] 2 1 [)( 0 1 L 1 抛物线法： ∫ − +++++++++ − − ≈ b a n n n yyyyyyyy n ab dxxf (2)[( (4) )] 3 )( 0 42 L 2 31 L 1 定积分的几何应用 1.绕 x 轴旋转生成的旋转体的体积（小圆台法） 20