F:=p=cos(, -)dS=plldxdyd:=pV 这就是所要证明的。 11.设某种流体的速度场为v=yi+x+xyk,求单位时间内流体 (1)流过圆柱:x2+y2≤a2,0≤z≤h的侧面(方向取外侧)的流 量 (2)流过该圆柱的全表面(方向取外侧)的流量 解(1)设Σ1:z=0(x2+y2≤a2),方向取下侧,Σ2:z=h(x2+y2≤a2), 方向取上侧,D是Σ1,Σ2在xy平面上的投影区域。由于 由 Gauss公式, ∫ws=jdh=0, ∑+1+22 所以流量 (2)由(1)可知,流过该圆柱的全表面的流量「nws=0 12.利用 Stokes公式计算下列曲线积分 (1)Jk+动+x,其中L是球面x2+y2+:2=a2与平面x+y+=0 的交线(它是圆周),从x轴的正向看去,此圆周的方向是逆 时针方向; (2)∫3d+5xd-2ykh,其中L是圆柱面x2+y2=1与平面==y+3的 交线(它是椭圆),从z轴的正向看去,是逆时针方向; (3)(y-)+(=x)+(x=y),其中L为圆柱面x2+y2=a2和平 面a+方=1(a>0b>0的交线(它是椭圆),从x轴的正向看去, 是逆时针方向 (4)(y2-2)+(2-x)+(x2-y2k,其中L是用平面x+y+=2 截立方体0≤x,y,z≤1的表面所得的截痕,从x轴的正向看去 是逆时针方向; (5)jx-y)+(y2-x)+(=2-x)k,其中L是沿着螺线 x=aoso,y=asin,z=hg从点A(a.0)至点Ba.b)的路径Fz = ρ ∫∫z z dS = ρ ∫∫∫dxdydz = ρV ， Σ Ω cos(n, ) 这就是所要证明的。 11．设某种流体的速度场为v = yzi + xzj + xyk ，求单位时间内流体 （1）流过圆柱： 的侧面（方向取外侧）的流 量； xya z 2 2 2 + ≤ , 0 ≤ ≤ h ) ) （2）流过该圆柱的全表面（方向取外侧）的流量。 解（1）设Σ = 1 : 0 z x( 2 2 + y ≤ a 2 ，方向取下侧，Σ = 2 : ( z h x 2 2 + y ≤ a 2 ， 方向取上侧，D是Σ1,Σ2在 xy平面上的投影区域。由于 0 1 = − = ∫∫ ∫∫ Σ D vdS xydxdy ， 0， 2 = = ∫∫ ∫∫ Σ D vdS xydxdy 由 Gauss 公式， 0 0 1 2 ∫∫ ∫∫∫ Σ+Σ +Σ Ω vdS = dxdydz = ， 所以流量 = 0 ∫∫ Σ vdS 。 （2）由（1）可知，流过该圆柱的全表面的流量∫∫ = 0 。 Σ vdS 12．利用 Stokes 公式计算下列曲线积分： （1）∫ + + ，其中 是球面 与平面 L ydx zdy xdz L x y z a 2 2 2 + + = 2 x + +y z = 0 的交线（它是圆周），从 x 轴的正向看去，此圆周的方向是逆 时针方向； （2）∫ ，其中 是圆柱面 与平面 的 交线（它是椭圆），从 轴的正向看去，是逆时针方向； + − L 3zdx 5xdy 2ydz L x y 2 2 + = 1 z y = + 3 z （3）∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz，其中L 为圆柱面 x y a 和平 2 2 + = 2 面 x a z h + = 1 0 ( , a h > > 0)的交线（它是椭圆），从 x轴的正向看去， 是逆时针方向； （4）∫ − + − + − ，其中L 是用平面 L ( y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 x y + + z = 3 2 截立方体0 ≤ x, , y z ≤ 1的表面所得的截痕，从 x 轴的正向看去， 是逆时针方向； （5）∫ − + − + − ，其中 是沿着螺线 L (x yz)dx ( y xz)dy (z xy)dz 2 2 2 L x = a cosϕ ， ϕ π ϕ 2 sin , h y = a z = 从点 A a( ,0 0, ) 至点 B a( ,0,h)的路径； 10