体积形态连续介质有限变形理论输运方程 谢锡麟 3.物质体输运定理 d 更dr≈q axaxaX (入,,7)d d000 中dr+1,6pd (x,t)+口·(V)d X (x,t)·(口⑧更)dr aX r+,a(vnx-a(:):(口 式中不失一般性地认为体积转换项始终为正,并且最后等式的获得利用了Gaus- Ostrogradski 2应用事例 3建立路径 ·为计算物质系统(物质线,物质面以及物质体)上张量场的第一类或第二类积分,首先按微 积分中曲线积分,曲面积分以及体积分的计算方法将积分转化至参数域,由于参数域不随 时间变化,故对于时间的导数可以直接移至积分内(对参数域上的被积张量进行求导),结 合变形刻画可以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分,由 此可建立所有形式的输运定理 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画,故分析过程及 结论完全严格.很多文献采用体积元的方法推导体积上输运定理,实际为物质导数的极限 分析.这样的方法“貌似”物理意义清晰,但却难以推广至物质面,物质线上的输运问题有限变形理论讲稿谢锡麟 体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程 谢锡麟 3. 物质体输运定理 d dt ∫ t V Φdτ = d dt ∫ Dλµγ Φ   ∂ t X ∂λ , ∂ t X ∂µ , ∂ t X ∂γ   R3 (λ, µ, γ)dτ = ∫ t V Φ˙ dτ + ∫ t V θ Φdτ = ∫ t V [ ∂Φ ∂t (x, t) + · (V ⊗ Φ) ] dτ − ∫ t V ∂X ∂t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ = ∫ t V ∂Φ ∂t (x, t)dτ + ∮ ∂ t V Φ(V · n)dτ − ∫ t V ∂X ∂t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ. 式中不失一般性地认为体积转换项始终为正, 并且最后等式的获得利用了 Gauss-Ostrogradskii 公式. 2 应用事例 3 建立路径 • 为计算物质系统 (物质线, 物质面以及物质体) 上张量场的第一类或第二类积分, 首先按微 积分中曲线积分, 曲面积分以及体积分的计算方法将积分转化至参数域, 由于参数域不随 时间变化, 故对于时间的导数可以直接移至积分内 (对参数域上的被积张量进行求导), 结 合变形刻画可以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分, 由 此可建立所有形式的输运定理. • 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画, 故分析过程及 结论完全严格. 很多文献采用体积元的方法推导体积上输运定理, 实际为物质导数的极限 分析. 这样的方法 “ 貌似” 物理意义清晰, 但却难以推广至物质面, 物质线上的输运问题. 3