第二十讲球函数(二) 第5页 其中λ是分离变量时引进的待定参数在18讲第2节中已经讨论过这个本征值问题,其解是 本征值 A=l(+1),l=0,1,2,3 本征函数 e2(6)=P(os0) 为了求解关于R(r)的方程,仍然可以作变换t=lmr,将方程变为 d-Ry dt2+ d-l(l+1)R=0 于是 R(r)=Ae+Be-(+1)=A1r1+Br-1-1 因此,满足 Laplace方程和有界条件的一般解就是 2(r,6) AIr+Bir-l-)Pi(cos 考虑到无穷远条件u2→0,应该有 A1=0. 再代入球面r=a上的边界条件 u2(r,),==∑Ba--P(os) Eoa cos 0-uo= OapI(cos 0)-uo Po(cos 0) 所以有 B0=-0,B1=B0a3,和B1=0,1≥2. 这样就求得 u2(r,6) . 这里求得的α2(r,θ)当然就反映了球面上感生电荷的分布情况.在均匀电场的作用下 接地球面上的感生电荷相当于位于坐标原点的点电荷和电偶极子的叠加.点电荷的电 量为-4πooa;电偶极子的偶极矩为4πεooa3,方向与均匀电场的方向相同 将u1(r,0)和u2(r,)叠加,就得到球外任意一点的总电势 u(r,6)=u0 E rcos e 图20.给出了过极轴的任意一个截面上电场线的分布图Wu Chong-shi ➦➧➨➩ ➫ ➭ ➯ (➧ ) t 5 ✉ ❁ ✛ λ ✒❈✘✄✙✺✜✢✘✚❄✛❇✣✕ 18 ✜✢ 2 ✣ ✛✤✥✦✗✧✹✬★✩❅✟✠✱ ❁ ❑✒ ★✩❅ λl = l(l + 1), l = 0, 1, 2, 3, · · ·, ★✩❆❇ Θl(θ) = Pl(cos θ). ✵✪➠❑✿➢ R(r) ✘✷õ✱✫✼❖P◗✄✬ t = ln r ✱ ❴ ✷õ✄✵ d 2Rl dt 2 + dRl dt − l(l + 1)Rl = 0. ➢ ✒ Rl(r) = Ale lt + Ble −(l+1)t = Alr l + Blr −l−1 . ▼✭✱óô Laplace ✷õ➜✪✡✖✗✘✫✮❑❳✒ u2(r, θ) = X∞ l=0 ￾ Alr l + Blr −l−1
Pl(cos θ). üý❞✾✯✰✖✗ u2   r→∞ → 0 ✱ç✱✪ Al = 0. ✲✳✴Û ❚ r = a è✘✵✡✖✗✱ u2(r, θ)   r=a = X∞ l=0 Bla −l−1Pl(cos θ) = E0a cos θ − u0 = E0aP1(cos θ) − u0P0(cos θ), ✳P✪ B0 = −u0a, B1 = E0a 3 , ➜ Bl = 0, l ≥ 2. ✹❊❳➠❝ u2(r, θ) = −u0 a r + E0a 3 r 2 cos θ. ✶✷✸✹✺ u2(r, θ) ✻✼✽✾✿ ❀ ❁ ❂❃❄❅ ❆❇✺❈❉❊❋✣ ●❍ ■❆❏✺❑▲▼✱ ◆❖❁ ❂❃✺❄❅ ❆❇P ✻◗❘◗❙❚❯❱✺ ❱ ❆❇❲ ❆❳❨❩✺ ❬❭✣❱ ❆❇✺ ❆ ❪❫ −4πε0u0a ❴ ❆❳❨❩✺❳❨❵❫ 4πε0E0a 3 ✱❛ ❜❝❍ ■❆❏✺ ❛ ❜P ❞✣ ❴ u1(r, θ) ➜ u2(r, θ) îï✱❳❝❞Ûá↕➙✫✧✘í ✯✖❡ u(r, θ) = u0  1 − a r  − E0  1 − a 3 r 3  r cos θ. ❢ 20.1 ❣④✪✧ú✶✘↕➙✫✬❤❚è ✯Ù✐✘❈ê❢ ✣