3-3-1QR分解的存在性与唯一性 定理设A∈Cmxn(m之n,则存在一个单位列正交矩阵Q∈Cmxm(即Q*Q=Inxn) 和一个上三角矩阵R∈Cnxn,使得 A=QR (3.1) 若A列满秩，则存在一个具有正对角线元素的上三角矩阵R使得(3.1)成立，且此时QR 分解唯一，即Q和R都唯一 多存在性可通过构造法证明 假定A列满秩，记A=[a1,a2,.·,an]∈Cmx”,则QR分解就是对A的列向量组进行 Gram-Schmidt正交化过程 http://ath.ecnu.edu.cn/-jypan 4/25 3-3-1 QR 分解的存在性与唯一性 定理 设 A ∈ C m×n (m ≥ n), 则存在一个单位列正交矩阵 Q ∈ C m×n (即 Q∗Q = In×n) 和一个上三角矩阵 R ∈ C n×n , 使得 A = QR (3.1) 若 A 列满秩, 则存在一个具有正对角线元素的上三角矩阵 R 使得 (3.1) 成立, 且此时 QR 分解唯一, 即 Q 和 R 都唯一. 存在性 可通过构造法证明. 假定 A 列满秩, 记 A = [a1, a2, . . . , an] ∈ C m×n , 则 QR 分解就是对 A 的列向量组进行 Gram-Schmidt 正交化过程. http://math.ecnu.edu.cn/~jypan 4/25